Théorème de Chudnovsky

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Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

[modifier] Enoncé

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction continue définie sur un segment $I = [a; b]$ ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers $f$ sur $I$ .

[modifier] Idée de la preuve

Ramenons-nous au cas où $[a;b] \subseteq ] 0 ;1[$ . La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante $x \in [a;b] \mapsto \frac{1}{2}$ est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de polynômes par :

P 0 = X, P n + 1 = 2(1 - P n) P n

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de $[a; b]$ dans $\mathbb{R}$ muni de la norme uniforme forment une algèbre sur $\mathbb{R}$ que l'on note $\mathcal{C}$ . L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers $\overline{\mathbb{Z}[X]}$ est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans $\mathbb{R}$ , donc $\overline{\mathbb{Z}[X]}$ contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient $X$ et $\mathbb{R}$ , elle contient donc $\mathbb{R}[X]$ , et a fortiori $\overline{\mathbb{R}[X]}$ . Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que $\overline{\mathbb{R}[X]} = \mathcal{C}$ .