Théorème de Cauchy (groupes)
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Soit un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G.
Démonstration:
Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément ζ non neutre tel queζp = e
- Soit ,
en bijection avec Gp − 1:
[Si est donnée, poser définit comme vérifiant .
Réciproquement: si est donnée , alors-gp valant nécessairement - elle est bien définie par .]
- Or:
On peut donc définir ,
qui engendre un groupe de permutations circulaires agissant sur E via
- Les orbites de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E: avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est clair que 1.a + p.b = | E | = np − 1 :
- par suite p divise a,donc a est strictement plus grand que 1:
il existe un élément autre que tel que: -soit:
Finalement: