Théorème de Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle.

Sommaire

[modifier] Énoncé

Une équation physique complète, de la forme générale…

f(q_1, q_2, \cdots, q_n)= 0

où les qi représentent n variables physiques choisies pour la description du problème, exprimées en terme de k unités physiques indépendantes, peut être réécrite sous la forme:

F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0

où les πi sont des nombres sans dimension construits à partir des qi par p = n − k équations de la forme:

\pi_i=q_1^{m_1}q_2^{m_2}\ldots q_n^{m_n}

où les mi sont des constantes.

[modifier] Démonstration de la 3e loi de Kepler

Le théorème de Buckingham suppose grossièrement que toutes les lois de la physique restent valables quelle que soit l'échelle utilisée, c'est-à-dire en particulier même après un étirement des longueurs et du temps.

Supposons donc que l'on étire les longueurs (notées r) de α et le temps (noté t) de β. On pose alors

r'=\alpha r\, et t'=\beta t\,.

Soient une particule fixe de masse M et une particule mobile de masse m (m < < M) soumise uniquement à la force gravitationnelle de la particule de masse M. En écrivant le principe fondamental de la dynamique selon un axe reliant le centre des deux particules, on a:

m\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{GMm}{r^2}\,

D'après le théorème de Buckingham, on devrait avoir également

m\frac{d^2r'}{dt'^2} = \frac{GMm}{r'^2}\,

Soit en remplaçant:

m\frac{d^2\alpha r}{d\beta^2 t^2} = \frac{GMm}{\alpha^2 r^2}\,

Soit nécessairement :

\frac{\beta^2}{\alpha^3}=cte\,

pour obtenir l'équation initiale.

On retrouve alors bien la troisième loi de Kepler (β étant associé au temps et α aux longueurs).

[modifier] Références

  • Buckingham, E. (1914) Phys. Rev. 4, 345-376. Et une généralisation de ce théorème dans le cas de classes de problèmes où certaines variables sont fixes : [1]

[modifier] Voir aussi