Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers

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Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la seconde variation.

Théorème : Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive $δ$ , alors son diamètre est borné par $\pi/\sqrt{\delta}$ :

$\forall x, k(x)\geq \delta>0\Rightarrow diam M\leq \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}$

En particulier, $M$ est compacte.

Démonstrations

Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec $L=d(p,q)>\pi/\sqrt{\delta}$ . Soit une géodésique $\gamma:[0,L]\rightarrow M$ d'origine

γ(0) = p

et d'extrémité

γ(L) = q

. Prenons

v

un vecteur dans

T p M

, orthogonal à

γ'(0)

. Introduisons le champ de vecteurs parallèle

Z

le long de

γ

d'origine

Z (0) = v

. Posons :

$Y(t)=\sin\left[\frac{\pi t}{L}\right].Z(t)$

Un calcul élémentaire donne :

$Y'(t)=\frac{\pi}{L}\cos\left[\frac{\pi t}{L}\right] Z(t)$

Soit

{c s}

une variation de courbes $[0,L]\rightarrow M$ d'origine

p

et d'extrémité

q

avec

c 0 = γ

et $\partial s c_s|_{s=0}=Y$ . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs

Y

, donne alors :

$\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=\int_0^L \left[ \frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\left[\frac{\pi t}{L}\right] - k(\gamma'(t),Y(t))\sin^2\left[\frac{\pi t}{L}\right]\right] dt\leq \frac{\pi^2 -\delta L^2}{2L}<0$