Théorème de Beatty

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Le théorème de Beatty est un théorème d'arithmétique publié en 1926 par le mathématicien canadien Samuel Beatty qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux suites pseudo-arithmétiques partitionnent $\mathbb{N}^*$ .

[modifier] Énoncé

Il affirme l'équivalence des deux points suivants :

Les nombres p et q sont positifs, irrationnels et vérifient $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
Les deux suites d'entiers $P = (E(np))_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $Q = (E(nq))_{n \in \mathbb{N}^*}$ forment une partition de l'ensemble $\mathbb{N}^*$

Ici, la fonction E désigne la fonction partie entière. Ce résultat ne se généralise malheureusement pas : il est impossible de partitionner $\mathbb{N}^*$ avec plus de trois suites pseudo-arithmétiques.

Démonstration

On se donne p et q deux réels strictement positifs, tels que les suites P et Q forment une partition de $\mathbb{N}^*$

Le résultat devient assez intuitif si l'on introduit la densité d'une partie A de $\mathbb{N}^*$ , c'est la limite - si elle existe - lorsque n tend vers $+ \infty$ de $\frac{\textrm{card}A \cap \{1, \dots, n\}}{n}$ . Par exemple, l'ensemble de nombres pairs (ou l'ensemble des nombres impairs) a une densité qui est 1/2, l'ensemble des nombres premiers a comme densité 0.

On voit facilement que les ensembles $\{E(n\alpha), n \in \mathbb{N}^*\}$ où $α$ est un réel positif ont comme densité $\frac{1}{\alpha}$ . Les supports des suites P et Q forment une partition de $\mathbb{N}^*$ , donc la somme de leurs densités vaut 1 :

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$

De plus, p et q ne peuvent être tous les deux rationnels, car si c'est le cas $p = \frac{a_1}{b_1}, q = \frac{a_2}{b_2}$ , alors $E (b 1 a 2 p) = E (b 2 a 1 q)( = a 1 a 2)$ . Or les suites P et Q n'ont aucun élément en commun. L'un des deux est irrationnels, et par suite les deux sont irrationnels (car $p - 1 + q - 1 = 1$ )

Réciproquement, si p et q sont irrationnels et $p - 1 + q - 1 = 1$ , montrons par l'absurde que les supports des suites P et Q sont disjoints. Soit k un entier qui s'écrit sous la forme $k = E (n p) = E (m q)$ .

Par définition de la partie entière, nous avons les inégalités suivantes :

$k \leq np < k + 1 \mbox{ et } k \leq mq < k + 1$

Divisons la première inégalité par p, et la seconde par q :

$\frac{k}{p} \leq n < \frac{k}{p} + \frac{1}{p} \mbox{ et } \frac{k}{q} \leq m < \frac{k}{q} + \frac{1}{q}$

Sommons ces deux inégalités, on obtient :

$k \leq n + m < k + 1$

k, n et m étant des entiers, ceci impose que $k = n + m$ . On a forcément égalité dans les deux inégalités précédentes. Donc k = np et k = mq. Ceci est absurde car p et q sont irrationnels.

Montrons maintenant que tout entier naturel non nul est atteint par l'une des deux suites. Soit $n \geq 1$ et k = E(np). k est atteint par la suite P, donc pas par la suite Q, il existe un unique entier m tel que :

E (m q) < k < E ((m + 1) q)

En fait, l'entier E(mq) est le plus grand entier de la suite Q inférieur à k. Les applications $r \mapsto E(rp)$ et $r \mapsto E(rq)$ sont injectives car p et q sont plus grands que 1. L'intervalle $\{1, \dots, k\}$ contient donc $m + n$ éléments des suites P et Q (car ces deux suites ont des supports disjoints). Il suffit de conclure en prouvant k = n + m. On a :