Théorème d'inversion locale

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Le théorème d'inversion locale est un des théorèmes les plus importants de la théorie des applications continûment différentiables. Il permet de prouver l'existence, localement, d'un inverse pour toute fonction moyennant certaines conditions. Il étend au domaine non linéaire des propriétés des systèmes linéaires de Cramer.

Il est formellement équivalent au théorème des fonctions implicites. L'ensemble de ces deux théorèmes constitue le socle sur lequel se bâtit la théorie des variétés.

[modifier] Énoncé du théorème

Dans la suite, on considèrera E et F, deux espaces vectoriels de même dimension n ( $n \geq 1$ ) sur $\R$ et f une application de classe $C k$ ( $k \geq 1$ ) d'un ouvert U de E dans F. On se place enfin en un point a un élément de U.

Si la différentielle de f : df appliquée au point a est un isomorphisme alors il existe un voisinage de a, V(a), tel que la restriction de f à V(a) soit un $C k$ difféomorphisme (fonction injective de classe $C k$ à valeur dans un ouvert et dont l'application réciproque est aussi de classe $C k$ ).

En outre, dans ce cas, la différentielle de la réciproque est la réciproque de la différentielle

$d(f^{-1})(f(a))=\left[df(a)\right]^{-1}$

Une des applications les plus simples de ce théorème concerne les fonctions de la variable réelle : si f est dérivable sur U un ouvert de $\R$ , de dérivée continue, et si $f'(a)\,$ est non nul, alors il existe un voisinage de a,V(a), sur lequel la fonction f est une bijection de V(a) sur f(V(a)).

Dans le cas d'une fonction définie sur E, la condition " df appliquée au point a est un isomorphisme " est équivalente à "le jacobien de f en a est non nul".