Théorème d'Ehrenfest

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Mécanique quantique

$\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$

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Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec l'Hamiltonien $\hat{H}$ du système.

Sommaire

1 Théorème
2 Relations d'Ehrenfest
- 2.1 Opérateur impulsion
- 2.2 Opérateur position
3 Voir aussi
4 Bibliogrphie

[modifier] Théorème

Le théorème d'Ehrenfest affirme que :

$\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle$

Ce théorème s'adapte parfaitement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique, et il est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En fait, c'est une règle empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par $i\hbar$ .

où A est un opérateur quantique quelconque et $\langle A\rangle$ sa valeur moyenne.

Démonstration du théorème

Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur auto-adjoint $\hat{A}$

$\langle A\rangle = \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle$

En dérivant $\langle A\rangle$ , on obtient

$\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt}|\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}|\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt}$

On remarque que $\frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}\left \langle \psi (t) \right |\hat{H}$ et $\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\left | \psi (t) \right \rangle$

On insère ces deux expressions dans l'expression précédente et on obtient

$\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle$

Avec $\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A} = [\hat{A},\hat{H}]$ , on obtient finalement

$\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle$

[modifier] Relations d'Ehrenfest

Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement

$\hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(x,t)$

où x est la position de la particule. On a alors les relations suivantes :

$\frac{d}{dt}\langle\hat p\rangle = \langle F \rangle$

$\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle$

En combinant ces deux relations, on retrouve une équation similaire à celle de Newton en mécanique classique :

$m\frac{d^2}{dt^2}\langle \hat r\rangle = \langle\hat F \rangle$

[modifier] Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la varitation instantanée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

puisque p commute avec lui-même et puisque lorsqu'il est représentée avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion

$p = -i\hbar\nabla$ soit $\frac{\partial p}{\partial t} = 0$ .

Donc

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* \nabla (V(x,t)\Phi)~dx^3.$

Ensuite en appliquant la règle du produit, on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,$

on voit apparaître la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat signifie, comme la deuxième loi de Newton, que le mouvement net d'un grand nombre de particules est exactement donné par la valeur moyenne d'une particule seule.

[modifier] Opérateur position

On peut aussi obtenir une autre relation en remplacant l'opérateur $\hat A$ par $\hat r$ :

$\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\hat H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat r}{\partial \hat t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\frac{\hat p^2}{2m}]\rangle$