Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

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Le théorème de Nyquist-Shannon, nommé d'après Harry Nyquist et Claude Shannon, énonce que la fréquence d'échantillonnage d'un signal doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, afin de convertir ce signal d'une forme analogique à une forme numérique. Ce théorème est à la base de la conversion numérique des signaux.

La meilleure illustration de l'application de ce théorème est la détermination de la fréquence d'échantillonnage d'un CD audio, qui est de 44,1 kHz. En effet, l'oreille humaine peut capter les sons jusqu'à 16 kHz, quelquefois jusqu'à 20 kHz. Il convient donc, lors de la conversion, d'échantillonner le signal audio à au moins 40 kHz. 44,1 kHz est la valeur normalisée par l'industrie.

[modifier] Considérations élémentaires

Si on veut utiliser un signal échantillonné, il faut être sûr que celui-ci contienne toute l'information du signal analogique d'origine. Il est souvent commode de considérer celui-ci comme une somme de sinusoïdes (cf analyse spectrale). Or il est intuitivement évident qu'une perte d'information se produit si le pas d'échantillonnage est trop grand par comparaison avec les périodes en cause, la fréquence d'échantillonnage étant trop faible par rapport aux fréquences considérées.

Soit un signal sinusoïdal d'amplitude a et de fréquence f :

$x(t) = a \cos(2\pi f t)\,$

En l'échantillonnant avec un pas T soit une fréquence 1/T on obtient la suite de valeurs numériques

$x_n = a \cos(2\pi n f T)\,$

Considérons maintenant le signal d'amplitude b et de fréquence 1/T - f :

$\textstyle y(t) = b \cos\left(2\pi\left(\frac1T - f\right)t\right)$

Une fois échantillonné à la même fréquence, il devient

$\textstyle y_n = b\cos\left(2\pi n\left(\frac1T - f\right)T\right) = b \cos\left(2\pi n\left(1 - f T\right)\right)\,$

La trigonométrie élémentaire conduit à

$y_n = b \cos(2\pi n f T)\,$

Ainsi, dans la somme x_n + y_n, il est impossible de distinguer ce qui appartient au signal de fréquence f et à celui de fréquence 1/T - f. Ce résultat conduit à l'effet de crènelage, repli de spectre ou encore aliasing, qui indique que l'on prend une sinusoïde pour une autre (alias).

Si la plus haute fréquence d'un signal est f_M, la fréquence 1/T - f_M ne doit pas appartenir au spectre du signal, ce qui conduit à l'inégalité :

$\frac 1T > 2 f_M$

Pour qu'un signal ne soit pas perturbé par l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la plus haute fréquence contenue dans le signal. Cette fréquence limite s'appelle la fréquence de Nyquist.

[modifier] Précisions

On peut interpréter le résultat précédent en considérant un signal transitoire x(t), donc muni d'une transformée de Fourier X(f).

Considérons la fonction obtenue en multipliant le signal x(t) par un peigne de Dirac, somme de deltas d'intensité T distants de T.

$x^*(t) = x(t) \delta_T (t)\,$

Compte tenu de la propriété fondamentale du peigne de Dirac, la transformée de Fourier de x*(t) est l'approximation de la transformée de x(t) obtenue par la méthode des rectangles :

$X^*(f) = T \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T) e^{- i n 2\pi f T}$

En utilisant le développement en série de Fourier du peigne, cette transformée se calcule aussi sous la forme

$X^*(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{i 2\pi n t/T} x(t) e^{- i 2\pi f\mathrm dt}\mathrm dt$

En regroupant les exponentielles et en échangeant les opérateurs, on obtient :

$X^*(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(f - n/T)$

Le rapprochement des deux résultats montre que le calcul de la transformée d'un signal échantillonné au pas T par la méthode des rectangles donne la somme de la transformée vraie et de toutes les translatées de celle-ci avec un pas égal à la fréquence d'échantillonnage 1/T.

Toute l'information utile est contenue dans l'intervalle [-1/(2T), 1/(2T)].

Si les fréquences présentes dans le signal ne débordent pas de cet intervalle, c'est-à-dire si la fréquence d'échantillonnage est supérieure au double de la plus haute fréquence, on obtient la transformée vraie. Dans le cas contraire, les translatées voisines viennent se superposer. Ce phénomène est appelé "recouvrement du spectre"

Du fait de la symétrie, tout se passe comme si le spectre vrai était replié (l'énergie associée aux fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage est transférée en dessous de cette fréquence). Si on veut éviter le franglais on utilise en général le terme repliement de préférence à aliasing.

Ces résultats s'appliquent sans modification à un signal à variance finie.

[modifier] Formule de Shannon

Puisque la transformée X*(f) du signal correctement échantillonné contient, dans l'intervalle [-½T,½T], la transformée du signal d'origine x(t), on peut reconstituer celui-ci en calculant la transformée inverse, l’intégration étant bornée à cet intervalle.

On obtient ainsi