Tenseur énergie-impulsion

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[modifier] Tenseur énergie-impulsion

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

$T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

T₀₀ est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
T₁₀, T₂₀, T₃₀ sont les densités de moments.
T₀₁, T₀₂, T₀₃ sont les flux d'énergie.
La sous-matrice 3 x 3 des composantes spatiale-spatiale :

$T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

[modifier] Construction

Pour une théorie décrite par une densité lagrangiennne $\mathcal{L}$ , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

$S \ = \ \int d^4x \ \sqrt{g} \ \mathcal{L}$

où $g = \mathrm{det} \ g_{\mu \nu}$ est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

$T_{\mu \nu} \ = \ \frac{1}{\sqrt{g}} \ \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}$

[modifier] Exemples

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,p,p,p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

[modifier] Propriétés

Le tenseur impulsion-énergie est symétrique :

T αβ = T βα

Le tenseur impulsion-énergie est à divergence nulle :

${T^{\alpha \beta}}_{; \alpha} = 0$

Dans le cas d'un fluide parfait, où $T αβ = P g αβ - (ρ + P) u α u β$ , en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne la loi newtonienne bien connue : $-\frac {\partial \overrightarrow \rho} {\partial t} + \overrightarrow {grad} P = 0$ .