Spline cubique d'Hermite

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On appelle Spline cubique de Hermite une spline de degré 3, nommée ainsi en hommage à Charles Hermite, et dont chaque polynôme Pi(x) se trouve sous la forme suivante:

P_i \in Vect\{h_{00}, h_{10}, h_{01}, h_{11}\}\,

avec

h_{00}(t) = 2t^3-3t^2+1 \,\!
h_{10}(t) = t^3-2t^2+t \,\!
h_{01}(t) = -2t^3+3t^2 \,\!
h_{11}(t) = t^3-t^2 \,\!

to give the polynomial as

\mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p}_0 + h_{10}(t)\mathbf{m}_0 + h_{01}(t)\mathbf{p}_1 + h_{11}(t)\mathbf{m}_1.

Sous cette écriture, il est possible de voir que le polynome p vérifie:

p(0)=\mathbf{p}_0 \,\!
p(1)=\mathbf{p}_1 \,\!
p'(0)=\mathbf{m}_0 \,\!
p'(1)=\mathbf{m}_1 \,\!

Les splines cubiques de Hermite sont donc une manière commode de construire un polynome de degré le plus bas possible interpolant une fonction en 2 points avec ses tangentes. (attention, en effet c est un ebauche, faut vérifier tout ça..)

la courbe est controlée par la position des points et des tangeantes. La courbe passe par tous les points.

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