Sphère de Bloch

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La sphère de Bloch est une représentation géométrique d'un état pur d'un système quantique à deux niveaux ; c'est donc, entre autre, une représentation d'un qubit. Il est possible de généraliser la construction de cette sphère un à un système à n niveaux.

La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus exactement, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un système à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.

La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.

[modifier] Le qubit

Considérons un état pur |\psi\rangle d'un système à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace |0\rangle et |1\rangle par : |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle avec α2 + β2 = 1 et (\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2. De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un système, nous pouvons sans perte de généralité supposer α réel positif, et réécrire |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^{i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle avec 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.

Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté, sauf dans les cas où il est dans état propre. Les paramètres φ et θ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de \mathbb{R}^3 ayant pour coordonnées cartésiennes : \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix} Dans cette représentation, |0 \rangle \cong (0,0,1) et |1 \rangle \cong (0,0,-1)