Sous-espace projectif

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En géométrie projective, un sous-espace projectif est défini comme le projeté d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel associé. Contrairement à ce qui se passe en géométrie affine, les propriétés sur les dimensions règlent de nombreux problèmes sur les incidences.

[modifier] Définition

Si F \,\! est un sous-espace vectoriel non réduit à \{0\} \,\!, on peut encore définir comme précédemment l'espace projectif P(F) \,\! sur F \,\!. Ou alors on peut considérer le sous-ensemble de P(E) \,\! formé par les \pi(x) \,\! tels que \,\! x \in F, c'est-à-dire l'image \pi(F) \,\!

En fait ces deux méthodes sont équivalentes et permettent de définir la notion de sous-espace projectif. Tout sous-espace projectif est défini à partir d'un sous-espace vectoriel.

En particulier on appelera hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.

Pour toute partie A \,\! de P(E) \,\! on peut définir le sous-espace projectif engendré par A \,\!, comme le plus petit sous-espace projectif de P(E) \,\! contenant A \,\! ; on le notera Proj(A) \,\!.

Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'mage réciproque \pi^{-1}(A) \,\! de A \,\! par la projection canonique : Proj(A) = \pi ( Vect ( \pi^{-1} (A) ) ) \,\!

[modifier] Propriétés

Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.

Si P(F) \,\! et P(G) \,\! sont des sous-espaces projectifs de P(E) \,\!, l'intersection P(F) \cap P(G) \,\! est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel F \cap G \,\! de E \,\! : P(F) \cap P(G) = P(F \cap G) \,\!.

D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par P(F) \,\! et P(G) \,\!, qui correspond au sous-espace vectoriel somme F+G \,\! : Proj(P(F) \cup P(G)) = P(F+G) \,\!.

Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :

dim \, P(F) + dim \, P(G) = dim \, P(F+G) - dim \, P(F \cap G) \,\!.

Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).

Application fondamentale de ce résultat : si P(E) \,\! est un plan projectif, et si P(F) \,\! et P(G) \,\! sont des droites projectives, on obtient 2 = dim \, P(F+G) - dim \, P(F \cap G) \,\!. Or l'espace somme P(F+G) \,\! est inclus dans P(E) \,\!, donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient dim \, P(F \cap G) \geq 0 \,\!, c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.

Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.