Solénoïde (mathématiques)
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- Cette page traite d'une classe de groupe topologique. Pour la boucle de fil enveloppée, voir Solénoïde.
En mathématiques, pour un nombre premier donné p, le solénoïde p-adique est le groupe topologique défini comme la limite inverse du système inverse
où i parcours les nombres naturels, et chaque Si est un cercle, et qi enveloppe le cercle 
p fois autour du cercle 
.
Le solénoïde est l'exemple standard d'un espace avec un mauvais comportement qui préserve les diverses théories homologiques, non vues pour les complexes simpliciaux. Par exemple, dans l'homologie de Čech, on peut construire une longue suite homologique non-exacte en utilisant le solénoïde. Dans les théories homologique de style-Steenrod, le 0-ème groupe homologique du solénoïde tend à avoir une structure assez compliquée, bien que le solénoïde est un espace connecté.
[modifier] Plongement dans R³
Un plongement du solénoïde p-adique dans R³ peut être construit de la manière suivante. Prendre un tore solide T dans R³ et choisir un plongement α: T → T tel que l'action de α sur le groupe fondamental de T soit la multipication par p; autrement dit, α envoie le tore solide T sur son intérieur de sorte que lorqu'on tourne une fois autour de l'axe de T à la source, on tourne p fois autour de l'axe de T au but. Alors, l'ensemble limite ω de α, c’est-à-dire,
l'intersection (dans R³) des tores de plus en plus petits T, αT, α(αT), etc., est un solénoïde p-adique à l'intérieur de T, par conséquent dans R³.
Une manière de voir que ceci est vrai implique de voir que cet ensemble est la limite inverse du système inverse constitué d'une infinité de copies de T avec les applications α entre elles, et ce système est topologiquement équivalent au système inverse (Si, q i) défini ci-dessus.
Cette construction montre comment le solénoïde p-adique apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques sur R³ (puisque α peut apparaître comme la restriction d'une application continue R³ → R³). C'est un exemple d'un continuum indécomposable non-trivial.
