Discuter:Singularité (mathématiques)

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euh, les points de branchement ou de ramification ne sont pas des singularités ? dois-je inclure les points de branchement dans la liste des singularités essentielles ?

à revoir.Claudeh5 20 juin 2006 à 14:56 (CEST)

en tout cas, sauf erreur, ce ne sont pas des points singuliers isolés (point singulier isolé : la fonction est analytique sur le disque épointé, alors qu'ici il faut des domaines genre plan fendu). Ce qui n'empêche pas d'en parler, mais sans les mélanger... Peps 21 juin 2006 à 10:50 (CEST)
Ah tiens ! Je crois que nous n'avons pas la même définition de l'isolement... On en arrive rapidement à ce genre d'absurdité que je lis régulièrement dans les cours d'analyse complexe anglo-saxons:
Cain "Complex analysis", chapitre 10: "a singularity that is neither a pole or removable is called an essential singularity" (page 82/91 1ere version 1999, redit en versions 2et 3 page 92/101)
D'une manière générale, cela touche à la notion d'analyticité en un point. Le fait de dire "la fonction est analytique sur le disque épointé, alors qu'ici il faut des domaines genre plan fendu" n'est pas exact: le logarithme est bien analytique(au sens complexe)(=développable en série entière convergente) en chaque point d'un domaine contenant 0. Donc la définition n'est pas suffisante. Ce n'est pas l'analyticité qui compte, mais bien l'uniformité sur un domaine épointé de la singularité.
On a aussi cette curiosité qu'il doit y avoir une singularité sur le cercle de convergence d'une fonction telle que f(z)=\sum_1^\infty{\frac{z^n}{n^2}} mais celle-ci n'est manifestement ni un pôle, ni un point singulier essentiel ni une singularité enlevableClaudeh5 22 juin 2006 à 11:15 (CEST)
Pour l'auteur du paragraphe qui pose problème, on prend un ouvert U et a appartenant à U, f analytique sur U\{a}. Un point de branchement ne peut se produire et ton exemple n'est pas de ce type.
Tu cites le logarithme comme exemple. Mais, non, il n'existe pas de "fonction logarithme" analytique sur un disque épointé centré en 0. On n'arrivera jamis à la définir sur un voisinage épointé de 0, sinon on tiendrait une détermination du logarithme bien intéressante. Après, en travaillant sur le revêtement ramifié ou en tant que fonction multivaluée, c'est une autre histoire.
(si tu n'es pas d'accord avec ce que j'indique, il faut que tu précises ce que tu appelles "le logarithme", ou alors je n'y comprends plus rien)
Le fait d'accuser un point de créer la singularité dans le cas du logarithme est d'ailleurs quelque peu abusif : si on enlève ce point, il y a toujours une singularité, au sens de l'impossibilité de définir une fonction analytique, contrairement aux pôles par exemple.
Quant au mot "isolé", à la réflexion, c'est moi qui dois faire erreur, sinon il serait utilisé hors de son contexte topologique usuel (à vérifier sur plusieurs livres ?). On est en train, ici d'étudier un point qui est à la fois isolé dans le complémentaire de U et dans l'ensemble des points singuliers. Y a-t-il un nom précis pour cela ? Peps 22 juin 2006 à 14:33 (CEST)
Bon, je le redis autrement (je suis l'auteur des 3 paragraphes dont un seul, le dernier, est signé). "La" fonction logarithme existe et est analytique en tout point z différent de 0. Donc "la fonction est analytique sur le disque épointé". Par contre elle n'est pas analytique en 0. Mais la difficulté n'est pas là, elle n'est tout simplement pas uniforme en 0. En fait, j'ai vérifié dans conway qui pose la même définition. Mais je pense qu'en fait, chaque fois, les auteurs ne considèrent que des fonctions uniformes. D'où la difficulté. Par exemple, je "tombe" sur une série entière (en zéro disons). Je calcule son rayon de convergence. Disons 1. Il y a une singularité quelque part sur le cercle unité un point singulier au moins. Pas de problème s'il s'agit d'un pôle: au voisinage du pôle, la fonction tend vers l'infini en module. Il n'y a pas de question de singularité enlevable. Un point singulier essentiel ? j'ai une sous-suite qui tend vers l'infini au moins donc à priori, je sais faire... Or je constate que pour toute suite tend vers exp(it), ma série reste bornée. Me voilà bien ! Il y a donc un point de branchement. Et comment je fais maintenant pour le trouver, le point de branchement ? Supposons donc le cercle de convergence ne soit pas lui-même une coupure (cas qui est pourtant le plus fréquent). Et qu'ainsi les points de branchement soient isolés: il se détermine en fait par l'unique propriété qu'au voisinage de ce point, la fonction n'y est pas uniforme: Suivant le chemin suivi pour y aller, la fonction obtenue par prolongement analytique ne donne pas pour le même point la même valeur. Remarque: on peut aussi déterminer les points de branchement en déterminant le rayon de convergence en différents points: chaque intersection entre les différents cercles de convergence donne un candidat.

Claudeh5 22 juin 2006 à 17:50 (CEST)

Le créateur du paragraphe "Analyse complexe" est, d'après l'historique, Anarkman. Il a rédigé ce passage en appelant "fonction" ce que tu appelles "fonction uniforme". Son paragraphe était juste : notamment il n'existe aucune fonction logarithme (sous entendu fonction au sens usuel c'est-à-dire uniforme) sur un disque épointé en 0. On pourrait tout chambouler en donnant la priorité sémantique au multiforme. Personnellement, je ne pense pas très raisonnable de comprendre fonction par défaut comme fonction multiforme, en tout cas certainement pas pour introduire ce qu'est une singularité. En plus l'intérêt des surfaces de Riemann c'est de permettre d'abandonner ce point de vue !
En plus c'est formulé bizarrement de dire que ce n'est qu'en 0 qu'il y a un problème d'uniformité, comme je l'indiquais au-dessus : enlève 0, la fonction sera toujours non uniforme, puisque ce qui compte, ce sont les lacets non homotopiquement triviaux. Peps 22 juin 2006 à 18:06 (CEST)
Evidemment si l'on ne considère que les fonctions uniformes la question ne se pose plus: il n'y aura jamais de point de branchement. Et il n'y a plus de question. Quant au logarithme, JE MAINTIENS qu'il s'agit d'une fonction analytique EN TOUT POINT autre que 0. Rien d'ailleurs n'oblige dans la définition d'une coupure uniformisante de prendre une ligne droite. On peut tout aussi bien prendre n'importe quelle courbe sans boucle tendant vers l'infini. On a défini le terme "analytique" en a comme étant équivalent à l'existence sur un ouvert U centré en a d'une série entière convergente sur U. Cela est bien le cas en tout point non nul a de la fonction logarithme: Il suffit de prendre pour U un disque ouvert de rayon inférieur à |a|. La fonction multiforme logarithme est donc analytique en tout point de C^* ! D'ailleurs, si l'on se rappelle la manière classique de définir le logarithme, celui-ci est défini de la manière suivante: on part de la branche du logarithme définie sur R+* et pour tout point z de C*, on prend un chemin partant d'un réel positif non nul et menant à z sans passer par 0 (qui est singulier pour 1/s). Le logarithme est alors défini par l'intégrale de 1/s depuis notre point réel jusqu'à z. Il n'y a absolument aucun problème, car la coupure uniformisante ne se situe implicitement pas sur la ligne d'intégration, tant qu'on peut repousser la coupure.Claudeh5 22 juin 2006 à 19:19 (CEST)

Bon c'est le dialogue de sourds... je serais 100 % d'accord avec des fonctions multiformes mais je répète mot pour mot ce que je dis : l'article avant ton intervention ne présentait pas de faute mathématique puisqu'il parlait de fonction pour fonction uniforme, comme tout un chacun. Si tu veux rédiger cela en multiforme (je pense que c'est une erreur d'attaquer ainsi pour introduire à la notion de singulairité), homogénéise l'article, précise bien multiforme et fais un revoi vers un article fonction multiforme. Ca me paraîtrait d'autant plus une erreur que cet article n'a pas vocation a priori à être un article d'analyse complexe : il y a plein de singularités en topologie différentielle aussi Peps 22 juin 2006 à 22:01 (CEST)

Voici une proposition; Soit f une fonction de la variable complexe z. On dit que f est analytique en un point a si f est développable en série entière de rayon de convergence non nul en a. Si ce développement ne peut avoir lieu, a est une singularité de f (il n'est donc pas tenu compte des "singularités enlevables" ou "éliminables"). Les singularités se classent en deux catégories (elles-mêmes divisées en deux) selon qu'un développement de Laurent en a est possible ou non. Si un developpement de Laurent en a est possible, on regarde le degré de la partie singulière. S'il existe un polynome de degré n en 1/(z-a), on dit que le point a est un pôle de degré n. S'il existe une infinité de termes dans le développement de Laurent, le point a est appelé "singularité essentielle". Si le développement de Laurent n'existe pas en a, a est un point de branchement ou de ramification. En ce point, un développement formel peut ne fait apparaître que des termes en (z-a)^p/q, pour un q fixé, qui est alors l'ordre de ramification de a. Si ce n'est pas le cas, on parle alors de point de branchement logarithmique en a. Il y a alors une infinité de feuillets à la surface de Riemann associée à f.Claudeh5 23 juin 2006 à 08:30 (CEST)