Utilisateur:Sharayanan/Saute-mouton
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[modifier] Énoncé
Trois moutons gambadent dans la pampa, en quête d'herbe verte. Rassasiés, ils trouvent une occupation fort complexe : le jeu de « saute-mouton ».
André, Bob et Carlos - trois moutons athlétiques - souhaitent donc suivre les règles du jeu, chacun leur tour :
- André saute par dessus Bob ;
- Bob saute par dessus Carlos ;
- Carlos saute par dessus André ;
- et ainsi de suite...
Le berger désirant garder un œil sur son bétail, et ce dernier, soucieux de ne pas affoler leur guide, feront tout leur possible pour ne pas s'éloigner trop.
Voilà donc leur problème : « Comment doivent-ils se placer au départ, pour qu'en jouant à leur jeu, ils ne s'éloignent pas trop loin du berger ? »
[modifier] Précisions
Pour simplifier l'étude, on considère que :
- Les moutons ont bu du café aux stéroïdes et peuvent sauter aussi loin que nécessaire ;
- Les moutons sont géomètres : ils sautent de façon symétrique au-dessus de leurs camarades ;
- Les moutons sont légèrement claustrophobes : on ne peut les superposer ;
- Le berger a une bonne vue : il ne perdra ses moutons que s'ils s'en vont à l'infini...
[modifier] Propositions
[modifier] Démonstration
Une idée est de commencer par localiser les moutons. On peut le faire avec des vecteurs ou, par exemple, des nombres complexes. On peut ainsi noter A, B, C trois nombres complexes représentant les trois moutons.
Ensuite, il faut essayer de voir comment sont transformées ces positions à chaque fois que les moutons ont sauté...
Il suffit d'écrire ce qui se passe lorsque les moutons ont tous sauté une fois :
- A a sauté au dessus de B et arrive en A' : A' = B + (B − A) ;
- B a sauté au dessus de C et arrive en B' : B' = C + (C − B) ;
- Subtilité : C a sauté au dessus de A' (et non pas A, qui a bougé...) et arrive en C' : C' = A' + (A' − C).
Simplifiez tout ça, vous avez une application qui, à chaque triplet de position de mouton (A, B, C), associe le triplet de position de mouton après un saut de chacun. Maintenant, il suffit de l'appliquer à elle même un certain nombre de fois pour voir ce qu'il se passe quand les moutons continuent leur jeu...
Si vous avez été malin(e), vous avez compris qu'il était judicieux d'introduire à ce niveau les matrices. Et ceci, que vous ayez adopté les complexes ou les vecteurs. Avec les nombres complexes, on peut trouver une matrice S telle que, si on note X la position de nos trois moutons à un moment et X' la position des moutons après avoir sauté, on ait :
.
Si vous avez honnêtement (mais je n'ose en douter) fait les calculs, vous trouvez :
Pour connaître l'issue finale du jeu capriné, il faut (et il suffit de) regarder ce qui se passe pour Sn, quand n grandit...
Puisque vous avez tout bien réalisé par vous-même (bien sûr) et, exténué(e), vous résignez à regarder cette astuce, je vous concède une information de premier ordre :
- S est diagonalisable.
Avec ceci, vous devriez vous dépatouiller... non ?
Bon... S est diagonalisable. Donc, on peut trouver des valeurs propres pour S. D'ailleurs, c'est intéressant : si λ est une valeur propre pour S, alors il existe un vecteur L tel que :
.
Et d'ailleurs, après n sauts des trois moutons,
.
Et là, vous commencez à palper la solution, n'est-ce pas ?
Grrrr.
Bon.
Vous avez bien sûr compris qu'il suffisait de trouver un vecteur propre de S, associé à une valeur propre de norme inférieure à 1. Dans le cas contraire, les moutons sautent de plus en plus loin les uns des autres, au désespoir de leur berger.
Il est donc immédiat, comme vous avez (aisément) diagonalisé S, que si elle possède des valeurs propres de norme inférieure à 1, alors les vecteurs propres associés à ces valeurs donneront les positions de départ qui satisfont le problème.
Bon... On se rend vite compte que les trois valeurs propres de S sont :
- +1,
et 
.
La seule valeur propre interessante est donc 
. On trouve son vecteur propre associé. Bon... comme il se fait tard et que je suis fainéant, on tente une résolution numérique :
- [0.8090169943749473, 0.5, 0.30901699437494745]
Je laisse au plaisir du lecteur ou de la lectrice la joie de trouver une expression algébrique.
L'important, c'est surtout que c'est un vecteur réel. En effet, cela signifie que les moutons sont alignés, ce qui n'est pas évident à première vue. L'autre chose importante, c'est le vecteur associé à la valeur propre 1, qui garantit l'invariance du problème par rotations, homothéties et translations - ce qui est heureux. Enfin, le vecteur obtenu est non nul, et chacun de ses termes sont distincts, ce qui ne vexera pas la claustrophobie des animaux considérés.
Conclusion : il suffit de prendre un axe quelconque, de prendre une unité quelconque, de placer André, Bob et Carlos aux positions (approximatives) 0,809 pour le premier, 0,5 pour le second et 0,309 pour le dernier. Alors, ils pourront jouer en toute quiétude.
[modifier] Plus loin...
[modifier] n moutons
Le berger ayant remarqué les formidables capacités des moutons en algèbre linéaire, il les produisit en public et récolta les fruits d'un franc succès. De ses recettes, il acheta quelques nouveaux moutons venant de l'Est, qui apprirent - joie - le jeu avec les anciens. Comment se placent ces n moutons ? Quelle propriété retrouve-t-on dans la suite des positions que prennent André, Bob, Carlos, Dimitri, Evgene, Fyodor, Gustav, ... à l'ordre n ?
