Utilisateur:Salle/Trigo
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'Cette page est une page de brouillon de Salle, elle peut comporter des erreurs, qui n'ont pas à être considérées comme des erreurs de l'espace encyclopédique de Wikipedia. J'y conserve deux démonstration élaborées dans la perspective d'une simplification d'une preuve pour l'article Groupe abélien de type fini. Des modifications sont possibles, toutefois, je souhaiterais garder la main sur l'esprit des preuves.
[modifier] Lemmes
Soit G un groupe abélien fini, et a un élément de G tel que son ordre soit égal à l'exposant e de G. Alors, tout élément du groupe quotient G/<a> se relève dans G en un élément de même ordre.
En effet, soit g' un tel élément, d'ordre n dans G/<a>, et g un relevé dans G. Alors g est d'ordre mn dans G, donc mn divise l'exposant e du groupe G, pour un certain entier m. En particulier, gn est dans <a>, et y est d'ordre m. On peut donc écrire gn=ak, on trouve km=el=mnfl pour certains entiers f et l, et donc gn=afln. Le relevé cherché de g' sera alors ga-fl.
Si H est un sous-groupe de G, et x un élément de G/H qui se relève dans G en un élément, toujours noté x, de même ordre, alors, le sous-groupe de G engendré par H et x, est produit direct de H par le sous-groupe engendré par x.
On forme l'application :
du produit direct de H par le groupe cyclique Cn d'ordre l'ordre n de x dans G et G/H, à valeurs dans le sous-groupe de G engendré par H et x, et qui à (h,k) associe hxk. C'est un morphisme de groupes, surjectif, et l'hypothèse sur l'ordre de x permet de vérifier qu'il est injectif.
[modifier] Théorème
On en déduit le théorème : si G est un groupe abélien de type fini, alors il s'écrit comme produit direct de sous-groupe cycliques, le nombre de sous-groupes intervenant dans cette description étant égal au nombre minimal de générateurs de G.
On travaille par récurrence sur le nombre minimal n(G) de générateurs du groupe abélien de type fini G. Le théorème est évident pour n(G)=1, supposons-le montré pour n(G)<n, et considérons un groupe G tel que n(G)=n. Parmi toutes les familles génératrices à n éléments de G, choisissons-en une dont le minimum des ordres des générateurs est minimal. Notons x un générateur d'ordre minimal dans cette famille, on applique l'hypothèse de récurrence au sous-groupe H engendré par les n-1 autres générateurs, et on trouve une famille génératrice à n-1 éléments yi de H tel que H est une somme directe des yi. De, plus la famille des yi à laquelle on adjoint x est encore génératrice de G.
Par hypothèse de minimalité, , pour tout i. On montre même qu'il y a divisibilité. En effet, supposons que p est un nombre premier tel que la plus grande puissance pl divisant a=o(x) est strictement plus grand que la plus grande puissance pm divisant l'un des b=o(y), pour y l'un des yi ; notons a'=a/pn, et b'=b/pm. On peut alors vérifier qu'en remplaçant x par x'=xpnyb' et y'=xa'ypm, on obtient encore une famille génératrice de G, avec o(x')<o(x), ce qui est une contradiction.
x est un générateur de G/H. Par le premier lemme, chaque projection de x dans <x,yi>/<yi> se scinde ; en mettant toutes les composantes ensemble, on voit par le second lemme que la projection de G sur G/H se scinde en une somme directe de H et de G/H, et on a fini.
On construit par récurrence une suite de sous-groupe Hi, de groupes quotient Gi, et d'éléments gi tels que :
- H0={1}
- G0=G
- Gi=G/Hi
- Hi+1=Hi+<gi+1>
- l'exposant e(Gi)=o(gi+1) et divise l'ordre o(gi)
Supposons, Gi, Hi et gi construits. On considère dans Gi un élément d'ordre e(Gi). Par le lemme, on le relève dans Gi-1 en un élément de même ordre, qui divise donc l'exposant de Gi-1 et donc l'ordre de gi, puis, par récurrence, en un élément gi+1 dans G. Par le second lemme, Hi et le sous-groupe engendré par gi+1 sont bien en somme directe dans G, et on définit Hi+1 comme cette somme directe, et Gi+1 comme le quotient de G par Hi+1
La suite de sous-groupes Hi croit strictement jusqu'à égaler G, et est à chaque étape somme directe de sous-groupes cycliques, d'où l' théorème.