Rotation vectorielle
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Soit E un espace vectoriel euclidien orienté réel de dimension finie n. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée directe de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe.
Sommaire |
[modifier] Rotation vectorielle plane
[modifier] Écriture matricielle
Dans le plan, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est :
Autrement dit, un vecteur V de composantes a pour transformé le vecteur V' de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle :
c'est-à-dire que l'on a :
[modifier] Écriture complexe
Remarque : ceci peut être rapproché de la formule suivante, écrite avec des nombres complexes :
ou encore :
[modifier] Sens de rotation
Lorsque est compris entre 0 et π et si le plan est orienté de façon usuelle, la rotation se fait dans le sens trigonométrique ou inverse des aiguilles d'une montre. On dit que la rotation est sénestre. Si est compris entre − π et 0, la rotation se fait dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle est dite dextre.
[modifier] Composition
La composée de deux rotations vectorielles est une rotation vectorielle dont l'angle est la somme des angles des deux rotations, ce qu'on traduit en disant que le groupe des rotations vectorielles est isomorphe au groupe .
[modifier] Rotations et angles
Dans la construction axiomatique de la géométrie, c'est la définition des rotations planes qui permet de définir la notion d'angle (voir l'article Angle).
[modifier] Rotation vectorielle dans l'espace de dimension 3
[modifier] Écriture matricielle
Dans l'espace de dimension 3, une rotation vectorielle est définie par son axe orienté dont les vecteurs sont invariants par cette rotation vectorielle et par son angle , celui de la rotation vectorielle plane qui concerne le plan orthogonal à l'axe.
Nous supposerons que le vecteur , de coordonnées dans une base orthonormée directe, est normé : .
Soit un vecteur quelconque. Notons sa transformée par la rotation .
[modifier] Cas particulier simple
Commençons par l'étude du cas particulier où la base orthonormée directe est telle que
Soient le plan vectoriel orthogonal à . Compte tenu du cas particulier, le plan est le plan engendré par les vecteurs et . Le vecteur se décompose en un vecteur colinéaire à qui est invariant par la rotation, et un vecteur qui subit une rotation d'angle dans le plan , et l'on peut appliquer à les formules établies dans le cas des rotations vectorielles planes. On peut donc écrire :
ce qui peut s'écrire sous la forme synthétique :
[modifier] Cas général
Si le vecteur a une orientation quelconque par rapport à la base orthonormée directe qui sert à exprimer les composantes, le raisonnement est plus délicat.
Comme ci-dessus, définissons le plan , orthogonal à . Le vecteur se décompose en la somme de , colinéaire à et invariant par la rotation, et de , élément de et qui va subir une rotation dans ce plan. Le vecteur directement orthogonal à dans le plan et de même norme est , de sorte que l'image de dans la rotation d'angle est .
Finalement, l'image de par la rotation vaut :
et si on remplace par sa valeur , on obtient :
d'où finalement la formule d'Olinde Rodrigues :
La formule encadrée ci-dessus donne l'expression vectorielle du transformé d'un vecteur quelconque, dans la rotation d'angle et d'axe normé ().
On peut présenter le même résultat sous la forme matricielle équivalente suivante :
[modifier] Remarques
La matrice M est appelée matrice de rotation. C'est une matrice orthogonale directe, ce qui signifie que ses colonnes forment une base orthonormée directe, ou encore que sa matrice transposée est égale à sa matrice inverse et que son déterminant vaut 1.
Inversement, étant donné une matrice de rotation quelconque, on retrouve facilement le cosinus de l'angle de rotation. En effet, la trace de la matrice (c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux) est égale à . Par ailleurs, on remarque que :
ce qui permet de retrouver rapidement l'axe et le sinus associés à la rotation. Géométriquement, et forment les deux côtés d'un losange dont le vecteur est la diagonale, orthogonale à l'axe de rotation. C'est le losange de Olinde Rodrigues.
[modifier] Composition de deux rotations vectorielles
La composée de deux rotations vectorielles et de l'espace de dimension 3 est une rotation vectorielle. Les caractéristiques de celle-ci se déterminent rapidement à partir de M3 − tM3, où M3 est le produit M2M1 des matrices de rotation initiales.
On peut également faire appel à la notion de quaternions. En effet, on peut calculer le transformé du vecteur en utilisant le produit de quaternions sous la forme suivante :
Composer des rotations revient alors à multiplier des quaternions.