Rhéologie des solides

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La rhéologie est une partie de la physique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables. Du grec reo (couler) et logos (étude).

Cet article concerne la rhéologie des solides, c'est-à-dire leur déformation, leur écoulement.

Sommaire

1 Propriétés mécaniques des solides
2 Viscoélasticité
- 2.1 Principe de Boltzman
- 2.2 Les modèles rhéologiques de base
3 Comportement dynamique
4 Etude pratique de la rhéologie des solides

[modifier] Propriétés mécaniques des solides

Lire l'article Déformation élastique en guise d'introduction.

[modifier] Contrainte et déformation

La pression sur un cylindre de section S change cette dernière. On considère en générale cette variation comme négligeable

En physique, l'effort exercé sur une pièce est représenté par la force F, exprimée en en Newton (N). La variation dimensionnelle est une longueur, exprimée en mètres.

Cependant, ceci dépend de la forme de la pièce. Si l'on s'intéresse aux propriétés du matériau, il faut s'abstraire des dimensions de la pièce. On caractérise donc l'effort par la contrainte et la variation dimensionnelle par la déformation

Contrainte: Si S est la surface sur laquelle s'exerce la force F, on définit la contrainte σ; $\sigma = {F \over S}$; La surface dépend de la déformation, mais pour les petites déformation, ceci est souvent négligé.

Déformation: Si L₀ est la longueur initiale de la pièce, alors la déformation ε est l'allongement relatif (sans unité)

$\varepsilon = ln{L \over L_0} = ln{(L_0 + \Delta L) \over L_0 } = ln {(1 + \frac{\Delta L}{ L_0})}$

Si la contrainte est faible alors la déformation est faible et donc

$\varepsilon= {\Delta L \over L_0 }$

Voir les article Tenseur des contraintes et Tenseur des déformations.

[modifier] Propriétés du matériau

Lors de son utilisation, une pièce peut se déformer de manière complexe. Pour permettre l'étude, on considère des déformations modèles simples.

Ces déformations simples permettent de définir des caractéristiques chiffrées du matériau.

Compression/traction uniaxiale

module d'Young, noté E_c

$E_c={\sigma \over \varepsilon}$ (en Pa ou plus couramment en GPa)

Lors d'un étirement ou d'un raccourcissement, on constate un élargissement ou une contraction de la pièce, caractérisée par le coefficient de Poisson ν (sans unité)

$\nu = \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{1}{V} \cdot \frac{\Delta V}{\Delta \varepsilon} \right ) \le 0,5$

Si ν = 0,5 alors ΔV est faible sous Δε ; exemples de valeur de coefficient de Poisson :

ν = 0,5 : liquide
ν = 0,5 : caoutchouc
ν = 0,2–0,35 : verre, polymère solide

Schéma du cisaillement d'un solide

Cisaillement: module de cisaillement, noté G :; $G = {\tau \over \gamma}= {F_/AB \over ( \Delta L / L)}$; complaisance de cisaillement, notée J :; $J={1 \over G}$

Flexion: combinaison de traction, compression, cisaillement.

La compression est la même sur chaque face du solide

Compression isostatique (ou hydrostatique): module de compressibilité (bulk modulus) noté K :; $K= {P \over ( \Delta V/V_0 )}$

[modifier] Relation entre les propriétés mécaniques

On a donc quatre coefficients E, G, B et ν, et deux relations. On peut alors écrire :

E = 2(1 + ν) G

${E = {9.B.G \over {3.B + G}} }$

[modifier] Types d'essais mécaniques

Essais statiques
- $σ = C t e$ : Fluage
- $\varepsilon = Cte$ : Relaxation
- ${ \Delta L \over dt} = Cte$ : Traction

Essais dynamiques : $σ,ε$ varient en fonction du temps

Voir l'article Essai mécanique.

[modifier] Viscoélasticité

Deux polymères différents ont des comportements différents selon les températures

La rigidité d'un solide (polymère) est fonction du temps

La viscoélasticité d'un corps dépend de sa température et du temps de repos. On note en général : $E = f (T, t)$

On étudiera alors qu'une de ses deux variables à la fois.

Si on sollicite le solide, on le fera à température constante
Si on fait varier la température, on l'étudiera après un temps expérimental fixe.

Ici on étudiera la relaxation qui est un phénomène réversible et détectable, se traduisant par une différence de mobilité moléculaire. Il ne faut pas la confondre avec la transition qui est un changement d'état physique (fusion, cristallisation, transition vitreuse...)

[modifier] Principe de Boltzman

Selon Boltzman, l'état de contrainte ou de déformation d'un corps viscoélastique est fonction de toutes les sollicitations appliquées au matériau.

Chaque nouvelle sollicitation contribue de manière indépendante à l'état final.

Principe de Boltzman : chaque nouvelle contrainte contribue de façon indépendante à la déformation finale

[modifier] Les modèles rhéologiques de base

[modifier] Corps idéalement élastiques

La réversibilité entre contrainte et déformation est parfaite (il n'y a pas d'effet mémoire du matériau).
Les relations entre contrainte et déformation sont instantanées.
Les relations entre contrainte et déformation sont linéaires.

$\sigma = k \varepsilon$

Le matériau peut être modélisé en mécanique par un ressort. Il n'y a aucune dissipation d'énergie.

[modifier] Corps idéalement visqueux

$\sigma = \eta {d \epsilon \over dt}$ où $η$ est la constante de Newton.

On a alors $\epsilon = {\tau_0 \over \eta} t + \epsilon_0$ ici $ε 0$ représente la déformation initiale, donc nulle.

On obtient alors $\epsilon = {\tau_0 \over \eta} t$ .

L'énergie est totalement dissipée sous forme calorifique. Le modèle équivalent en mécanique est celui d'un amortisseur.

[modifier] Combinaison des modèles

Afin de représenter le comportement viscoélastique des différents solides, on peut combiner ces deux modèles équivalents.

[modifier] Maxwell

Le modèle de Maxwell rend compte du comportement viscoélastique et élastique d'un matériau mais pas de son comportement viscoplastique.

à $t=t_1^-$ , $\varepsilon = \sigma _0 \left( {t_1 \over \eta } + {1 \over k} \right)$
à $t=t_1^+$ , $\varepsilon = \sigma _0 \left( {t_1 \over \eta } + {1 \over k} \right) - {\sigma _0 \over k} = {\sigma _0 \over \eta } t_1$

[modifier] Voigt

$\varepsilon = B e^{-t \over \tau}$

[modifier] Zener

$\varepsilon (t) = {\sigma _0 \over k_2 } + {\sigma _0 \over k_1 } \left(1-e^{-t \over \tau} \right)$ avec $\tau= {\eta \over k_1}$

[modifier] Burger

$\varepsilon (t) = \sigma _0 \left ( {1 \over k_2 } + {t \over \eta _2} \right) + {\sigma _0 \over k_1} + \sigma _0 \left ( 1-e^{-t \over \tau} \right)$ avec $\tau= {\eta _1 \over k_1}$