Relations de Kramers-Kronig

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En mathématiques et physique, les relations de Kramers-Kronig, nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers^[1] et Ralph Kronig^[2], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes. La condition pour qu'elles s'appliquent à une fonction $f (ω)$ est que celle-ci doit représenter la transformée de Fourier d'un processus physique linéaire et causal. Si on écrit

f (ω) = f 1 (ω) + i f 2 (ω)

avec $f 1$ et $f 2$ des fonctions réelles "sympathiques", alors les relations de Kramers-Kronig sont

$f_1(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\Omega f_2(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega$

$f_2(\omega) = -\frac{2 \omega}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{f_1(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega$ .

Les relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité $ε(ω)$ des matériaux. Cependant, dans ce cas, il faut noter que

f (ω) = χ(ω) = ε(ω) / ε 0 - 1

avec $χ(ω)$ la susceptibilité électrique du matériau. La susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.

[modifier] Notes et références de l'article

↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545-557 (1927) .
↑ R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, p. 547-557 (1926).