Discuter:Relation binaire

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Définir, surtout formellement, une relation binaire comme sous-ensemble du produit cartésien de deux ensembles conduit à des incohérences.

En effet, considérons par exemple deux ensembles A et B tels que A soit une partie stricte de B. Le carré cartésien AxA est alors une partie de BxB :

$\forall A \forall B (A \subset B) \Rightarrow (A\times A \subset B\times B)$

Considérons alors une relation binaire réflexive dans A, par exemple Delta(A), diagonale de AxA, définie comme suit : $\Delta(A) = \{ ( x, x) | x \in A \}$ .

Comme AxA est une partie de BxB, Delta(A) l'est aussi; c'est donc une relation binaire dans B. Mais, comme A est une partie stricte de B, il existe un élément b de B qui n'appartient pas à A, et (b, b) n'appartient donc pas à Delta(A) qui n'est donc pas réflexive...

Certains pourraient penser se sortir de cette contradiction en décrétant que les propriétés de Delta(A) dépendent de l'ensemble dans lequel la relation est plongée, donc qu'elle est réflexive dans A et non réflexive dans B, mais un tel énoncé est à son tour contradictoire avec l'axiome d'extensionalité de la théorie des ensembles, qui affirme que les propriétés d'un ensemble ne dépendent que de la liste de ses éléments et de rien d'autre (En fait, l'axiome d'extensionalité affirme simplement que si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques, mais cela revient au même).

La seule solution consiste à modifier la définition des relations binaires de telle sorte qu'elle tienne compte de l'ensemble dans lequel la relation est placée. Dans notre exemple, cela implique alors que la relation binaire où Delta(A) est placée dans A n'est pas celle où Delta(A) est placée dans B. Si les deux relations sont différentes, elles peuvent avoir des propriétés différentes sans générer de contradiction.

Par ailleurs, si on parle de relation binaire, c'est que l'on suppose implicitement d'autres types de relations, par exemple ternaires... C'est pourquoi je crois qu'il faut réserver le terme de relation binaire au cas des carrés cartésiens, et employer un autre terme, par exemple correspondance, dans le cas général.

Nous aboutissons ainsi à un ensemble de définitions légèrement différent de celui proposé dans l'article, mais qui élimine incohérences et sources de confusion :

- une correspondance est un triplet d'ensembles tel que le troisième ensemble du triplet soit un sous-ensemble du produit cartésien du premier ensemble du triplet par le deuxième; en d'autres termes, si E et F sont deux ensembles :

$(\mathfrak{C}\ est\ une\ correspondance\ de\ E\ dans\ F) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{C} = (E, F, G))\wedge(G \subseteq E\times F))$

E est l'ensemble de départ de la correspondance, F son ensemble d'arrivée et G son graphe.

- une relation est alors une correspondance dont l'ensemble de départ est soit une puissance cartésienne de l'ensemble d'arrivée (relations internes), soit le produit cartésien d'un ensemble dit de scalaires par une telle puissance (relations externes); en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :

$(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ interne\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists n \in\mathbb{N}\ ,\exists G\ /\ (n\geq 2)\wedge (\mathfrak{R} = (E^{n-1}, E, G))\wedge(G \subseteq E^n))$

$(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ externe\ de\ S\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists n \in\mathbb{N}\ ,\exists G\ /\ (n\geq 3)\wedge (\mathfrak{R} = (S \times E^{n-2}, E, G))\wedge(G \subseteq S \times E^{n-1}))$

n est appelé arité de la relation qui est alors dite n-aire. Ainsi :

- une relation binaire est une correspondance dont les ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes; en d'autres termes, si E est un ensemble :

$(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ binaire\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (E, E, G))\wedge(G \subseteq E\times E))$

- une relation ternaire interne est une correspondance dont l'ensemble de départ est le carré cartésien de l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E est un ensemble :

$(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ ternaire\ interne\ dans\ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (E\times E, E, G))\wedge(G \subseteq E^3))$

- une relation ternaire externe est une correspondance dont l'ensemble de départ est le produit cartésien d'un ensemble S de scalaires par l'ensemble d'arrivée; en d'autres termes, si E et S sont deux ensembles :

$(\mathfrak{R}\ est\ une\ relation\ ternaire\ externe\ de\ S\ dans \ E) \Leftrightarrow (\exists G\ /\ (\mathfrak{R} = (S\times E, E, G))\wedge(G \subseteq S\times E^2))$

Il demeure ensuite tout à fait possible d'assimiler par abus de langage les relations à leur graphe, à condition que cet abus soit explicité (ce qui suppose qu'il ne figure pas dans la définition même des relations) et que toute ambiguïté sur l'ensemble de départ utilisé soit évitée...

[modifier] Nomenclature

cet article mêle des choses très utilisées et d'autres moins, avec une nomenclature qui parait parfois curieuse :

areflexif : (ni reflexif , ni irreflexif dans l'article) nom contre-intuitif, a-t-on besoin de nommer ce genre de chose ?

asymétrique : notion utile (ordre strict) mais nom contre-intuitif (en français il me semble que asymétrique, c'est ce qui n'est pas symétrique, a privatif), fortement anti-symétrique semble suffisant

dissymétrique (dans le sens de l'article) : nom contre-intuitif, à quoi ça sert ?

isolante : à quoi ça sert (vu les exemples cités ... ) ?

connexe : je n'ai jamais vu appelé ça connexe. Y-at-il des références ? Quel rapport avec la connexité ? On parle parfois de propriété de trichotomie (quand les 3 cas sont exclusifs), c'est lourd mais clair.

circulaire / anticirculaire : y-at-il des exemples utiles ? Pourquoi privilégier les cycles d'ordre 3 ?

Proz 29 novembre 2006 à 22:12 (CET)

je me réponds : areflexif, dissymétrique, isolante, connexe, anti-circulaire : à faire disparaître, inventions terminologiques possibles ; asymétrique : on peut discuter, l'article anglais le mentionne, mais qui l'utilise ... ; circulaire : pas indispensable, mais je l'ai vu ailleurs, toujours dans le contexte décrit dans relation d'équivalence : un exercice plutôt qu'une définition utile, ça suffit dans cet article ; antitransitif ne sert à rien (autant que je sache), le laisser comme "exercice" (ne pas être transitif n'est pas être antitransitif). Par ailleurs, l'article pourrait être par contre moins normatif (cf version anglaise, il arrive que l'on identifie dans certains contextes une relation binaire à son graphe), mieux organisé. Proz 19 mai 2007 à 20:19 (CEST)

[modifier] Style

Section "Approche expérimentale" : « On pourra déplorer le fait que Delphine n’aime personne, que Lucie ait un cœur généreux et que Charles puisse se sentir seul. » Ça ressemble plus à une remarque plaisante qu'un prof pourrait faire pour détendre l'atmosphère et maintenir l'attention de ses élèves qu'à une véritable information utile dans un article encyclopédique, non ? Par ailleurs, j'ai des réserves sur le titre de la section : approche "expérimentale", vraiment ? Le contenu est plus un exemple trivial monté de toutes pièces (mais certes parlant et pertinent, il a sa place ici) qu'à quoique ce soit d'expérimental. Est-ce que quelque chose comme "Illustration" ou "Illustration du concept" (ou autre) ne conviendrait pas mieux ? Schmorgluck 3 mars 2007 à 19:30 (CET)

Pour ce genre de modification, tu peux le faire sans passer par une discussion. Si l'auteur (en l'occurence moi) trouve à redire, il viendra alors en parler ici, mais presonnlement je ne trouve rien à redire et ne peux que t'approuver. Seule une refonte justifie une discussion. HB 3 mars 2007 à 20:10 (CET)

Un dernier remord cependant : la remarque plaisante n'est pas là pour détendre l'atmosphère mais permet de présenter une lecture (partielle) du diagramme sagital qui n'est pas évident pour tous. HB 3 mars 2007 à 20:14 (CET)

déplacé ici pour la lisibilité

Qu'est-ce qu'une partie propre?? merci d'y répondre, de faire une page dessus >>>>

idem que sous-ensemble propre voir l'article sous-ensemble, je vais l'y ajouter explicitement. Proz 19 mai 2007 à 19:01 (CEST)