Rayon d'injectivité

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Soit S une surface orientée de R3 . On peut la supposer paramétrée localement par un système de coordonnées. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une variété. A P=S(u,v) on associe le vecteur normal \Gamma(P)\,:

\Gamma(S(u,v))=\frac{\frac{\partial S(u,v)}{\partial u} \wedge \frac{\partial S(u,v)}{\partial v}}{\|\frac{\partial S(u;v)}{\partial u} \wedge \frac{\partial S(u,v)}{\partial v}\|}\,

On lui associe l'application exponentielle normale

S \times ]-\epsilon,\epsilon [ \rightarrow R^3\,
(P, t) \rightarrow P + t\Gamma(P)\,

C'est un difféomorphisme pour ε > 0 assez petit. Le plus grand ε > 0 tel que l'exponentielle normale soit un difféomorphisme s'appelle le rayon d'injectivité normal (ou reach) de S. Tant qu'on parcourt la droite (P,Γ(P)) de puis P et sans retraverser S, l'exponentielle normale est injective.

Un autre définition équivalente est de considérer toutes les sphères \{Q\}_S\, de rayon r(Q)\, tangentes en au moins 2 points de S et incluses dans S. On peut définir le reach comme

\min_{X \in \{Q\}_S} r(X) \,