Rapport de Riesz

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En mathématiques, le rapport de Riesz est un certain rapport d'une série arithmétique. Ils ont été introduits par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1] [2]. Le rapport de Riesz ne doit pas être confondu avec le rapport de Bochner-Riesz ou le rapport de Strong-Riesz.

[modifier] Définition

Soit une séries {sn} donnée, le rapport de Riesz de la série est défini par

s^\delta(\lambda) = \sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

Quelque fois, un rapport de Riesz généralisé est défini par

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k

Ici, les \lambda_n\, sont une suite avec \lambda_n\to\infty\, et avec \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1\, comme n\to\infty\,. A part cela, les \lambda_n\, sont pris arbitrairement.

Les rapports de Riesz sont souvent utilisés pour explorer la sommabilité de suites; les théorèmes typiques de sommabilité discutent du cas de s_n = \sum_{k=0}^n a_n\, pour certaines suites \{a_n\}\,. Typiquement, une suite est sommable lorsque la limite \lim_{n\to\infty} R_n\, existe, ou la limite \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)\, existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

[modifier] Cas particuliers

Soit an = 1 quel que soit n. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}

Ici, on doit prendre c>1\,; \Gamma(s)\, est la fonction gamma et \zeta(s)\, est la fonction zeta de Riemann. La série de puissances \sum_n b_n \lambda^{-n}\, peut être montrée convergente pour \lambda > 1\,. Notez que l'intégrale est de la forme de la transformation de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant a_n=\Lambda(n)\, où \Lambda(n)\, est la fonction de von Mangoldt. Alors

\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}

De nouveau, on doit prendre c>1\,. La somme sur \rho\, est la somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann, et \sum_n c_n \lambda^{-n}\, est convergent pour \lambda > 1\,.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

[modifier] Références

  1. ↑ M. Riesz, Comptes Rendus, 12 juin 1911
  2. ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196.