Réflexion (mathématiques)

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On appelle réflexion du plan euclidien, qu'il soit vectoriel ou affine, toute symétrie orthogonale par rapport à une droite de ce plan (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien). Dans l'espace euclidien (en dimension 3), il s'agit d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan. L'origine du terme se conçoit bien en liaison avec les miroirs qui réfléchissent une image. Figure image et figure initiale sont isométriques.

Plus généralement, en géométrie euclidienne, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1.

Une réflexion vectorielle est, comme toute symétrie orthogonale vectorielle, une transformation linéaire involutive, qui conserve la norme euclidienne (et le produit scalaire), et une réflexion affine est une involution affine qui conserve la distance. Suivant la parité de la dimension de l'espace, une réflexion vectorielle est une isométrie positive ou négative, une réflexion affine une isométrie directe ou indirecte.

[modifier] Exemples

Dans un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée,

• la réflexion par rapport à l'axe des x est l'application

(x,y) -> (x, − y)

• la réflexion par rapport à l'axe des y est l'application

(x,y) -> ( − x,y)

• la réflexion par rapport à l'axe y = x est l'application

(x,y) -> (y,x)

• la réflexion par rapport à l'axe y = -x est l'application

(x,y) -> ( − y, − x)

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