Quantificateur (logique)
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Les expressions « pour tout » et « il existe » utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats sont appelées des quantifications et le symbole qui les représente en langage formel est appelé un quantificateur.
[modifier] Quantification universelle
La quantification universelle est représentée en notations mathématiques par un A à l'envers (∀) ; elle exprime "pour tout" ou "quel que soit".
Par exemple, l'assertion, exprimée en langue naturelle,
-
- pour tout x, x satisfait la propriété P
s'énonce formellement :
-
- ∀x P(x)
La notation ∀ vient de l'allemand Alle (qui signifie « tout » en français).
[modifier] Quantification existentielle
La quantification existentielle est représentée par un E retourné (∃) ; elle exprime « il existe un ». Cette notation peut être suivie d'un ! ce qui indique l'unicité de l'élément qui suit, la signification devient alors « il existe un unique ». Par exemple, l'assertion, exprimée en langue naturelle,
-
- il existe un x qui satisfait la propriété P
s'énonce formellement :
-
- ∃x, P(x)
tandis que
-
- il existe un unique n, (suivi d'un prédicat)
s'énonce formellement :
-
- ∃! n, suivi du prédicat
La notation ∃ vient de l'allemand Existieren.