Quadrupôle

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Le quadrupôle, en électrostatique, est une distribution de charges, ayant pour particularité que les barycentres des charges respectivement positives et négatives sont confondus.

Sommaire

1 Analyse du quadrupôle
- 1.1 Développement quadrupolaire
- 1.2 Cas particulier : axe de symétrie
2 Voir aussi

[modifier] Analyse du quadrupôle

Soit une distribution (D) de charges $q i$ aux points $P i$ . Cette distribution (D) à support compact crée à une grande distance des charges (pour r >> a, avec a longueur caractéristique de la distribution) un potentiel V1(r).

On définit :

$q = Σ q i$ la somme des charges
$\vec{p}(O)$ = $\Sigma q_i \vec{OP_i}$ , indépendant de O si q=0, nul si O est choisi barycentre des charges
$J_O = \Sigma q_i {OP_i}^2$ , le moment d'inertie par rapport à O
$\hat{J} (\vec{X}) = \Sigma q_i \vec{OP_i} \times ( \vec{X} \times \vec{OP_i})$ , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à O
$\hat{Q} = 2 J_o X -3 \hat{J} X$ , l'opérateur linéaire quadrupolaire en O

On peut vérifier que trace( $\hat{Q}$ )= 0.

[modifier] Développement quadrupolaire

Théorème :

$V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{\vec{p}.\vec{u}}{r^2} + \frac{\vec{u}.(\hat{Q} \vec{u})}{2 \times r^3} + o(\frac{1}{r^3})$ , avec $\vec{u} = \vec{r}/r$

[modifier] Cas particulier : axe de symétrie

(D) possède la symétrie de révolution autour d'un axe, disons Oz.

Alors la matrice de $\hat{Q}$ est diagonale, avec $Q x, x = Q y, y = - Q o / 2$ et $Q z, z = Q o$ qui s'appelle moment quadrupolaire en O de la distribution. Si q n'est pas nul, on choisit O en G, et alors :

$V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{Q_o}{2 \times r^3} \times [P_2(cos \theta )] + o(\frac{1}{r^3})$ , avec $P 2 (x) = 1 / 2.(3 x 2 - 1)$ (2^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, $Q o = 2(A - C)$ < 0 ; l'usage est de poser $J_2 = \frac{C-A}{Ma^2} = 1.08263 \times 10^{-3}$ .