Discuter:Quasigroupe

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Quelque chose me chagrine :

un quasigroupe est défini ici comme un magma (Q, * ) véfifiant \forall (a,b) \in Q^2, ((\exists ! x \in Q , a*x=b )et (\exists ! y \in Q, y*a=b))

or il me semble pouvoir démontrer avec cela qu'un quasigroupe admet un neutre :

\exists e \in Q, \forall x \in Q , x*e=e*x=x

en effet :

soit a \in Q , et x \in Q l'unique élément tel que a * x = a . Soit ensuite b \in Q , comme on a a * x * b = a * b et donc par unicité x * b = b et ceci pour b \in Q quelconque. x est donc neutre à gauche, et on montre aisément de même qu'il est neutre à droite...

Ou est mon erreur ? Car erreur de débutant il y a ...

--Pdm 24 jan 2005 à 21:22 (CET)

Réponse : d'abord une remarque en passant : ce n'est pas par « unicité », mais par régularité de * qu'il est possible de simplifier par a, dans le raisonnement ci-dessus.
Ensuite, l'erreur réside dans ce que l'écriture « a * x * b » suppose la loi associative, ce qui n'est justement pas le cas! Il faut écrire « ( a * x ) * b = a * b », et, comme la loi * n'est pas supposée associative, on ne peut pas en déduire « a * ( x * b ) = a * b » et, de là, simplifier par a.
Il n'y a donc pas obligatoirement d'élément neutre.
194.214.213.67 17 mar 2005 à 15:54 (CET)