Principe de d'Alembert

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Le principe de d'Alembert est un principe énoncé en 1743 par Jean le Rond d'Alembert avant que Joseph-Louis Lagrange ne développe la mécanique analytique en l'utilisant.

[modifier] Énoncé

Définition d'un déplacement virtuel $\delta \vec r$ d'un corps C : c'est un déplacement instantané, infinitésimal et respectant les contraintes physiques du corps (rigidité, domaine dans lequel il évolue,…).

Les forces de contraintes sont les forces s'appliquant au corps, faisant qu'il respecte les contraintes physiques (force de réaction de la table sur laquelle est posé le corps, résistance de la rigidité aux forces extérieures,...).

Ce principe dit que l'ensemble des forces de contraintes appliquées à un système ne travaille pas (ne produit ni ne consomme d'énergie) lors d'un déplacement virtuel:

Si le système est un corps C, et que les forces de contraintes sont $\vec f (x)$ pour chaque x∈C, alors pour tout déplacement virtuel $\delta \vec r (x)$ du corps, on a :

$\int_C \vec f (x) \cdot \delta \vec r (x) dx = 0$ ,

ce que l'on peut écrire

$\int_C \left( \vec F (x) - \dot \vec p (x) \right) \cdot \delta \vec r (x) dx = 0$

avec $\vec p (x)$ l'impulsion et $\vec F (x)$ la somme des forces (qui ne sont pas de contrainte) s'exerçant en $\ x \in C$ .

En fait, ce principe postule que, par exemple, la table sur laquelle est posé l'objet est passive (n'oppose que des forces de réaction au corps) et ne va pas lui fournir une quelconque accélération.