Principe d'idéalisation
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En analyse non standard, le principe d'idéalisation est un axiome permettant soit d'obtenir des propriétés portant sur tous les ensembles standards finis à partir d'un résultat d'existence, soit au contraire d'obtenir un résultat d'existence à partir de propriétés portant sur tous les ensembles standards finis.
Sommaire |
[modifier] Énoncé
Le principe d'idéalisation pose l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
- Il existe un ensemble y tel que tout ensemble standard x vérifie un prédicat (interne ou externe) q(x,y) ;
- Pour tout ensemble standard fini X, il existe un ensemble y (dépendant de X), tel que tout élément x de X vérifie q(x,y).
[modifier] Principe spécialisé d'idéalisation
Parfois posé comme axiome, le principe spécialisé d'idéalisation est un cas particulier de spécialisation. Il affirme l'existence d'éléments non standards dans tout ensemble standard infini. De manière équivalente, un ensemble interne est fini ssi tous ses éléments sont standards.
Il se déduit du principe précédent en lui appliquant le prédicat 
où A est un ensemble standard infini.
Conséquences du principe spécialisé d'idéalisation :
- La collection des éléments standards d'un ensemble standard infini n'est jamais un ensemble standard ;
- Les nombres naturels infinis sont exactement les entiers naturels non standards ;
- Il existe des nombres réels infiniment petits non nuls.
[modifier] Principe non standard de Cantor
Dans tout ensemble standard infini non dénombrable X, il existe un élément (nécessairement non standard) n'appartenant à aucun sous-ensemble standard dénombrable de X.
Considérons le prédicat suivant :
Pour tout ensemble fini F de parties dénombrables de X, il existe un élément y de X n'appartenant à aucun des ensembles de F. par le principe d'idéalisation, il existe un élément y de X n'appartenant à aucun des parties dénombrables standardes de X.
[modifier] Principe de Nelson
Il existe un ensemble fini Y tel que tout ensemble standard en est un élément.
