Potentiel de Yukawa

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Un potentiel de Yukawa (appelé également 'potentiel de Coulomb masqué') est un potentiel de la forme

$V(r)= -g^2 \;\frac{e^{-mr}}{r}$

Hideki Yukawa montra dans les années 1930 qu'un tel potentiel provient de l'échange d'un champ scalaire massif tel que celui d'un pion de masse $m$ . La particule médiatrice du champ possédant une masse, la force correspondante a une portée inversement proportionnelle à sa masse. Pour une masse nulle, le potentiel de Yukawa devient équivalent à un potentiel coulombien, et sa portée est considérée comme infinie.

Dans l'équation ci-dessus, le potentiel est négatif, ce qui indique que la force est attractive. La constante g est un nombre réel; elle est égale à la constante de couplage entre le champ mésonique et le champ fermionique avec lequel il interagit. Dans le cas de la physique nucléaire, les fermions seraient le proton et le neutron.

[modifier] Obtention du potentiel de Yukawa

Partons de l’équation de Klein-Gordon^[1]:

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial (ict)^2} = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi$

L’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, c'est-à-dire relativiste. Si le second membre est nul, on obtient l'équation des ondes électromagnétiques :

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial (ict)^2} = 0$

Si, en plus, la fonction d'onde est indépendante du temps, on obtient l'équation du champ électrostatique, c'est-à-dire l'équation de Laplace :

ΔΨ = 0

Enfin, en symétrie sphérique fonction de la distance r à la charge ponctuelle, on obtient l'équation de Laplace du champ coulombien :

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dr}\right)=0$

Le potentiel de Yukawa a la symétrie sphérique et est statique mais garde le second membre. L'équation de Klein-Gordon devient :

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dr}\right) = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi$

où $m 0$ serait la masse du méson ou pion. La solution physiquement acceptable de cette équation différentielle est le potentiel $Ψ(r)$ ou V(r) de Yukawa (la fonction d'onde se transforme en potentiel) :

$\Psi(r)= - g^2 \;\frac{e^{-\left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right) r}}{r}$

Le potentiel est négatif car il s'agit d'une force de liaison, l'interaction forte, le potentiel d'attraction entre deux nucléons à une distance r. Sa portée, de $10 - 15 m$ , rayon du proton, correspond à une masse $m 0 = 140 M e V$ , celle du méson dont l'existence a été prévue ainsi par Yukawa.

[modifier] Transformée de Fourier

La façon la plus simple de comprendre que le potentiel de Yukawa est associé à un champ massif consiste à examiner sa transformée de Fourier. On a

$V(r)=\frac{-g^2}{(2\pi)^3} \int e^{i\mathbf{k \cdot r}} \frac {4\pi}{k^2+m^2} \;d^3k$

où l'intégrale est calculée sur toutes les valeurs possibles du vecteur quantité de mouvement k. Sous cette forme, on peut voir la fraction $4π / (k 2 + m 2)$ comme le propagateur ou fonction de Green de l'équation de Klein-Gordon.

[modifier] Amplitude de Feynman

Le potentiel de Yukawa peut être déduit comme amplitude au premier ordre de l'interaction d'une paire de fermions. L'interaction de Yukawa couple le champ fermionique $ψ(x)$ au champ mésonique $φ(x)$ avec le terme de couplage

$\mathcal{L}_\mathrm{int}(x) = g\overline{\psi}(x)\phi(x) \psi(x)$

L'amplitude de diffusion de deux fermions, l'un avec une quantité de mouvement initiale $p 1$ et l'autre avec une quantité de mouvement $p 2$ , qui échangent un méson de moment k, est donnée par le diagramme de Feynman à droite.

Les règles de Feynman associent pour chaque sommet un facteur multiplicatif g à l'amplitude; ce diagramme ayant deux sommets, l'amplitude totale sera affectée d'un facteur multiplicatif $g 2$ . La ligne médiane qui relie les deux lignes de fermions représente l'échange d'un méson. Selon la règle de Feynman, un échange de particules implique l'utilisation du propagateur; pour un méson massif, ce dernier est $- 4π / (k 2 + m 2)$ . Ainsi, l'amplitude de Feynman pour ce graphe est simplement

$V(\mathbf{k})=-g^2\frac{4\pi}{k^2+m^2}$