Polynôme aux inverses

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En algèbre, le polynôme aux inverses P’ associé à un polynôme P non nul sur un anneau \mathbb{A} \left[ X \right] est un polynôme défini par :

P' = X^n P \left( \frac{1}{X} \right)

Une propriété interessante est que :

\left( P' \right) ' = P

[modifier] Exemple

Soit P un polynôme non nul. Alors P est de degré d, fini, supérieur à 0, et il existe (an)n une suite de scalaires, tous nuls pour n>d. On peut ainsi écrire :

P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k = a_0 + a_1 X + \ldots + a_d X^d

Alors le polynôme aux inverses de P est le polynôme :

P' = \sum_{k=0}^{d} a_{d-k} X^k = a_d + a_{d-1} X + \ldots + a_0 X^d

[modifier] Réduction

L'application Φ qui à un polynôme P associe son polynôme aux inverses est diagonalisable, et de valeurs propres 1 et -1 (Preuve : le polynôme X² - 1 l'annule). En particulier, si le degré de P est pair, la dimension des deux sous-espaces propres de Φ est identique, égale à \frac{n}{2}. Si le degré de P est impair, en notant n = 2p + 1, alors :

\dim{E_{+1}(\Phi)} = p + 1, et
\dim{E_{-1}(\Phi)} = p.

[modifier] Voir aussi