Discussion Utilisateur:Pmassot/Brouillon

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J'essaierai de lire ceci bientôt Peps 27 février 2007 à 21:20 (CET)

Il s'agissait en effet d'une erreur de manipulation de ma part, merci. Pmassot 28 février 2007 à 13:49 (CET)

Sommaire 1 Avis de Peps 1.1 Notes prises au fil de l'eau 1.2 Avis global 2 Une petite remarque 3 Débat endormi

[modifier] Avis de Peps

[modifier] Notes prises au fil de l'eau

Désolé si ça paraît décousu ou impigeable, ce sont mes observations brut de décoffrage

• Intro : je suis assez d'accord avec le parti pris initial, présenté de façon honnête, et qui est sans doute la meilleure façon d'introduire à la géométrie symplectique
• espace des phases en mécanique
  • à propos des q_i seuls : "Cependant cette information ne suffit pas à décrire complètement l'état du système, il faut aussi décrire la vitesse des différents objets,"

là ça me semble un peu vite aller en besogne. On a envie de dire pourquoi la vitesse ? pourquoi pas une autre grandeur (l'accélération) ? -> rappeler la forme des lois de la méca semble impératif de même il faudrait évoquer le temps : " en partant de n'importe quel point avec n'importe quelle vitesse" -> parler de conditions initiales, déterminisme

Oui effectivement, il faudrait détailler un peu.

• • "La géométrie euclidienne est la plus familière mais elle n'est pas adaptée car " -> très bonnes remarques mais il manque une explication initiale pour comprendre ce qu'on recherche : des trucs invariants. Or les objets de la géométrie euclidienne ne le sont pas
• théorème de Liouville : très bonne idée de point de départ, mais ne suffit il pas de faire évoluer un "pavé oblique" (actuellement on en parle dans Wronskien) , est-ce utile de découper ?

Je ne suis pas sûr de comprendre cette remarque. Est-ce qu'il est clair pour toi que lorsqu'on part d'un "pavé oblique" on peut évoluer en une forme quelquonque de même volume ? L'article sur le wronskien parle d'équations différentielle linéaires : des droites évoluent toujours en droites. Ici l'évolution est non-linéaire a priori, je le fait d'ailleurs remarquer à la fin du paragraphe précedent.

oups mea culpa, en effet, le "pavé oblique" existe mais ne représente rien par rapport au pavé initial. Ca n'a donc pas de sens de s'y intéresser. En fait j'ai pas réalisé que la forme symplectique bougeait en fonction du point, donc être sur R^n n'est pas être en géom linéaire. (quelle nouille je fais).

En fait je ne suis pas sûr de savoir ce que tu as compris et ce que tu n'as pas compris. J'imagine que la confusion provient du fait que j'expose tout d'un point de vue intégral : dans cet article la forme symplectique est toujours vue comme quelque chose qui à une surface (orientable) associe un nombre (une 2-cochaine singulière si tu aimes ce vocabulaire). Evidemment la définition donnée dans l'article Géométrie symplectique est en termes de forme différentielle de degré 2 et le lien avec le point de vue précédant est dans l'intégration des formes différentielles. Là où la confusion arrive c'est que l'espace tangent à R^2n est naturellement identifiable à R^2n. La forme symplectique version intégrale mange des surfaces dans le premier R^2n de la phrase précédante et la forme symplectique version infinitésimale mange deux vecteurs du deuxième R^2n. Est-ce que je m'exprime clairement ? Est-ce que ta confusion n'avait rien à voir avec cela ?

Dans tous les cas je défends le point de vue intégral dans une introduction vulgarisé (je le défend aussi en général, par exemple j'attends toujours de trouver quelqu'un qui comprend la formule magique de Cartan sans passer par la version intégrale).

• théorème de Poincaré : OK, on le sent bien (sauf un conflit de notation sur les p_i). Je mettrais la notion de structure symplectique plus bas, en conclusion du paragraphe : un truc du genre "donner une structure symplectique c'est faire une opération comparable à associer à chaque surface S de l'espace des phases la somme des aires de ses projections pi(S)".

En effet, il y a un grave conflit de notation :) Il faudra rectifier ça. Le mot comparable n'est pas le bon puisque l'opération que je décrit est un cas particulier de structure symplectique modulo le fait que je suis imprécis avec le terme « aire de la projection » (problème qui crée d'ailleurs une incohérence plus loin).

ce serait comparable au sens de "jouissant de propriétés comparables à " ?

J'espère que ce point est éclairci par mon paragraphe précedant.

• théorème de non tassement : OK, il manquerait peut être une conclusion : il y a quelque chose de plus que le volume qui est conservé (là j'ai un pbe de compréhension d'ailleurs, il me semble que dans le cadre symplectique linéaire ceci n'est pas si dur à démontrer ? ou je suis dans les choux ? peut être n'ai je rien compris au sens réel de ce paragraphe ? C'est pas l'histoire du chameau ??? help !!!!) ?

Je pense que ce problème est lié à celui du théorème de Liouville. Si tu suppose qu'un système évolue de façon linéaire et en préservant la structure symplectique alors le théorème de non-tassement (aka théorème du chameau) est très facile (accessible en premier cycle universitaire disons) mais ici on ne suppose pas la linéarité. L'énoncé du théorème est vraiment : le fait qu'un système évolue (de façon éventuellement non-linéaire) en préservant la structure symplectique entraine que la boule B ne sera jamais envoyée dans le cylindre décrit.

en effet tu as relevé plus haut où j'avais déraillé dans l'interprétation.

• "deuxième grande idée : les symétries" : OK le plan est clair
  • Théorème de Noether c'est clair parce que je comprends "groupe à un paramètre de transfo". faudrait en donner une très vague idée, en termes cinématiques (pas facile à formuler !)

Effectivement, c'est un peu lapidaire, même si on ne peut guère espérer que l'article géométrie symplectique soit accessible à quelqu'un ne sachant pas ce qu'est un groupe, notion qui intervient bien plus tôt dans l'apprentissage des maths.

non le pbe c'est "groupe à un paramètre", en fait ceux qui ne connaissent pas cette expression (au mieux, mais pas systématiquement, on le voit avec l'exponentielle de matrices) risquent de ne pas voir où est le paramètre dans les deux cas particuliers :il suffirait sans doute de le dire.

Ah d'accord. Effectivement tu as raison. Le pire c'est que je me souviens avoir buté sur cette expression « groupe à un paramètre de difféos » quand j'ai appris ça. C'est terrible l'habitude du jargon. Pmassot 28 février 2007 à 22:05 (CET)

• • Systèmes hamiltoniens intégrables : ici, fin en queue de poisson ! simples, comment ça simples ??? :)

C'est typiquement un paragraphe qui n'a jamais été terminé ;) Je voulais parler du théorème de Liouville-Arnold mais cela nous entrainerait peut-être trop loin.

• Variétés symplectiques : OK le niveau de difficulté progresse mais sans faire de saut, tu fais avaler le mot fibré cotangent en toute discrétion, très bien, la suite du discours coule de façon assez logique et on a des images en tête.

[modifier] Avis global

-> enthousiaste ! la progression est très claire, tout apparaît naturellement, la difficulté monte tout doucettement, le jargon est réduit au strict minimum.

Avec quelques retouches de forme c'est un excellent point d'entrée pour la géom symplectique.

Par contre, ce n'est pas vraiment un panorama du sujet, ni sur le plan historique, ni sur le plan mathématique "pur" comme avait entrepris Ektoplastor. Son approche est différente et complémentaire. La géométrie symplectique mérite bien deux textes, l'un du type "panorama", où l'on entre direct dans le coeur du suet, et l'autre du type "introduction".

Donc je serais pour insérer ceci après qques aménagements comme départ d' article, sous un titre bien choisi Peps 27 février 2007 à 22:29 (CET)

Ce que je proposais était à l'origine de mettre cela au début de l'article Géométrie symplectique en remaniant un peu la suite mais sans la supprimer et sans créer de nouvel article. Penses-tu que cela donnerait un article trop long ? Pmassot 28 février 2007 à 13:49 (CET)

d'abord désolé pour mon grave contre sens. J'ai lu ça un peu tard, en réalisant que j'avais oublié dans la journée... mauvaise idée !

trop long si fusionné ? personnellement je dirais oui et surtout l'objectif et donc le public potentiel même des textes est différent. D'ailleurs ton texte pourrait porter un titre tel que "de la mécanique classique à la géométrie symplectique", puisqu'il n'entre pas directement dans le sujet général "géométrie symplectique", mais il y amène progressivement.

et puis si on veut continuer, il faut se décider à employer le jargon ad hoc de façon plus massive. Il serait logique de marquer la séparation des rédactions par une séparation des articles. Peps 28 février 2007 à 14:46 (CET)

Petite remarque en passant : le théorème de "non-tassement" (ou théorème de non-plongement de Gromov) est précisément au coeur de la topologie symplectique sans trop d'exagération. Il montre qu'au delà du volume, il existerait des invariants "de dimension 2" qui empêche à un ouvert de de se plonger de manière symplectique dans un autre ouvert. Aujourd'hui, la nature de ces invariants est incomprise.

Ce résultat a été démontré par Gromov, mais je ne sais plus s'il a étudié le problème du plongement de la boule dans le cyclindre, ou la comparaison des ellipsoïdes. Il a utilisé des études portant sur les surfaces pseudo-holomorphes. Son résultat a conduit à l'introduction des "capacités symplectiques", comme le "rayon de Gromov", le rayon de la plus grande boule qu'on peut plonger symplectiquement dans une variété symplectique.

D'autres démonstrations existent de ce résultat ; et le rapport entre elles reste incompris (par exemple des démonstrations baséesz sur des méthodes variationnelles portant sur l'existence d'orbites hamiltoniennes).

Il faudra créer théorème de non-plongement de Gromov ... Ekto - Plastor 28 février 2007 à 16:43 (CET)

Je ne sais pas si cette remarque s'adresse à moi ou à Peps mais je veux bien discuter de tout ça. Cependant est-ce trop indiscret de te demander si tu es bien la personne que je crois ? En effet la discussion ne prendrait pas la même tournure selon que tu travailles directement en topologie symplectique (auquel cas j'imagine que tu travailles avec C. V. et que tu n'es pas V. H.) ou bien que tu as juste lu pas mal de choses dans ce domaine. Tu peux me répondre par email si tu veux rester anonyme ici ou bien ne pas me répondre bien sûr. J'insiste sur le fait que je ne demande pas cela parce que je doute de tes compétences mais seulement pour ajuster le niveau de détails de la discussion.

J'en profite pour signaler que mon pseudo est due à une erreur de débutant : quand je me suis inscrit sur wikipédia on m'a demandé un login, j'ai donc indiqué ce qui est toujours mon login informatique en pensant qu'on me demanderait plus tard un surnom. Quand je me suis rendu compte qu'il n'y avait pas de séparation login/surnom j'avais déjà commencé à contribuer et je suis resté comme ça, surtout que je ne tenais pas spécialement à rester anonyme. Pmassot 28 février 2007 à 22:05 (CET)

[modifier] Une petite remarque

Je n'interviens pas direcetement sur cette page. Je te laisse répondre aux interventions de Peps. Par contre, je suis favorable non pas à une juxtaposition, mais plutôt à une fusion intelligente en un seul article.

Ekto - Plastor 27 février 2007 à 22:40 (CET)

Les avis sont donc divergents (entre Peps et toi, moi je n'ai pas d'avis). Est-ce qu'il arrive qu'une notion ait une page vulgarisée et une page spécialisée ? Est-ce qu'il y a déjà eu des débats de ce type auquels on pourrait se référer ? Pmassot 28 février 2007 à 22:05 (CET)

Pourquoi est-ce que tu ne veux pas intervenir directement ici ? Pmassot 28 février 2007 à 13:49 (CET)

Non, mais je peux intervenir si tu me le demandes... Ekto - Plastor 28 février 2007 à 16:28 (CET)

[modifier] Débat endormi

Le débat de cette page s'est un peu endormi. Qu'est-ce que je fais alors ? Ektoplastor, est-ce que tu as fui à cause de ma question indiscrète ? Pmassot 6 mars 2007 à 10:11 (CET)

En fait, non, je n'ai pas fui.

• La partie De Liouville à Gromov devrait être déplacée dans Théorème de non-plongement de Gromov dans une section Historique, mais les sous-parties ne me semblent pas nécessaires.
• Dans l'article existant géométrie symplectique, la partie Interactions est trop lacunaire ; il faudrait la déplacer comme section 3. C'est dans cette section 3 qu'on pourrait ajouter les informations de la section 6 de ton brouillon.
• L'article géométrie symplectique n'est pas terrible. Donc toute amélioration serait intéressante. Il ne faut pas hésiter à le modifier !!!

Ekto - Plastor 18 mai 2007 à 15:19 (CEST)