Onde de Kelvin

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Une onde de Kelvin est une onde de gravité océanique de taille caractéristique assez grande pour que la force de Coriolis se fasse ressentir et en présence d'une couche limite (typiquement une côte). Physiquement c'est une onde de gravité (la marée par exemple) qui à cause de la force de Coriolis vient « s'écraser » contre une côte.

Sommaire

1 Dérivation mathématique
2 Ondes de Kelvin dans la Manche et dans la mer du Nord
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes

[modifier] Dérivation mathématique

Une onde progressive longue se propageant à la surface d'une Terre en rotation se comporte différemment que si la Terre ne tournait pas. La force de Coriolis tend en fait à infléchir les trajectoires vers la droite dans l'hémisphère Nord.

Les équations bidimensionelles des eaux peu profondes linéarisées, sans friction mais avec rotation terrestre, sont les suivantes :

$\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial t}-fv=-g\frac{\partial \eta}{\partial x} \\ &\frac{\partial v }{\partial t}+fu=-g\frac{\partial \eta}{\partial y} \\ &\frac{\partial \eta }{\partial t}+H\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0 \end{align}$

Où $u$ et $v$ sont les vitesses horizontales par rapport à l'axe $x$ et $y$ (respectivement), $g$ l'accélération de la pesanteur, $f$ le facteur de Coriolis, $η$ l'élévation de la surface de l'eau par rapport au niveau moyen et $H$ la hauteur totale de la colonne d'eau.

Considérons un écoulement parallèle à l'axe $x$ . Nous sélectionnons donc une solution telle que $v = 0$ . Cette hypothèse s'applique le long de n'importe quelle frontière droite située en $y = 0$ (côte, rive, ...). Les équations deviennent :

$\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial t}=-g\frac{\partial \eta}{\partial x} \\ &fu=-g\frac{\partial \eta}{\partial y} \\ &\frac{\partial \eta }{\partial t}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0 \end{align}$

L'obtention d'une solution pour ce système présuppose une dépendance en $y$ . On écrit donc la solution ondulatoire générale sous la forme:

$\begin{align} \begin{pmatrix} \eta \\ u \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \eta(y) \\ u(y) \end{pmatrix}\exp{ i \left( kx-\omega t \right)} \end{align}$

Comme précédemment, on injecte cette expression dans notre système d'équation, de manière à déduire la relation de dispersion $ω 2 = g H k 2$ . La vitesse de propagation de l'onde est donc donnée par $c_g=\frac{\omega}{k}=\sqrt{gH}$ . On obtient aussi une expression pour l'élévation :

$\eta(y)=\eta_0\exp{\left(-fy/\sqrt{gH}\right)}$

Cette onde est appelée ondes de Kelvin. Ces ondes décrivent assez bien un certain nombre d’aspects de la marée. En présence d’une côte située sur la droite de l’onde (dans l’hemisphère Nord), une onde de Kelvin se forme et on observe une décroissance exponentielle de l’amplitude de l’onde lorsque l’on s’éloigne de la côte. La longueur caractéristique $\sqrt{gH}/f$ est appelée rayon de Rossby $ρ R$ qui comparée avec l’échelle caractéristique de l’écoulement donne l’importance relative de la force de Coriolis.

[modifier] Ondes de Kelvin dans la Manche et dans la mer du Nord

Champ d’élévation en mer du Nord et dans la Manche simulée avec un modèle d'équations des eaux peu profondes en éléments finis. Le modèle est forcé avec la composante M2 de la marée en mer ouverte. Des ondes de Kelvin se propagent le long de la côte anglaise et à travers la Manche. Les zones rouges sont des zones de marées hautes tandis que les zones bleues sont des zones de marées basses. )

Dans le cas de la Manche, il y a formation d’onde de Kelvin quand les ondes de marée provenant de l’océan arrive dans le canal que constitue la Manche. Parce que les ondes sont défléchies vers la droite (dans l’hemisphère nord), des ondes de Kelvin se forment le long de la côte française. La figure montre ce phénomène, on y constate bien des amplitudes plus importantes sur de la côte française par rapport à la côte anglaise.

De même sur la cette figure, on constate aussi des ondes de Kelvin le long de la côte Est anglaise. Ces ondes proviennent du nord et se propage vers le sud, par conséquence de la force de Coriolis, elles se « collent » à la côte qui est sur leur droite.