Nombre premier de Sophie Germain

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Un nombre premier p est appelé un nombre premier de Sophie Germain si 2p + 1 est aussi un nombre premier. Ils ont reçu une signification en raison de la démonstration de Sophie Germain à propos de la véracité du dernier théorème de Fermat pour de tels nombres premiers. Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain, mais, comme la conjecture des nombres premiers jumeaux, ceci n'a pas encore été démontré. Les premiers petits nombres premiers de Sophie Germain sont :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, ...

(suite A005384 dans l'Encyclopédie électronique des suites entières).

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2C₂ n / (ln n)² où C₂ est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10⁴, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190 ci-dessus. Pour n = 10⁷, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, excepté le premier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr.

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