Nombre premier équilibré

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En mathématiques, un nombre premier équilibré est un nombre premier qui est égal à la moyenne arithmétique des nombres premiers les plus proches au-dessus et en-dessous. Ou, exprimé de manière algébrique, pour un nombre premier donné $p n$ , où n est son index dans l'ensemble ordonné des nombres premiers, $p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}$ . Les premiers nombres premiers équilibrés sont

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 la séquence A006562 de l'OEIS

Par exemple, 53 est le seizième nombre premier. Le quinzième et le dix-septième nombres premiers, 47 et 59 ont pour somme 106, qui a pour moitié 53, ainsi 53 est un nombre premier équilibré.

Quand 1 était considéré comme un nombre premier, 2 aurait pu correspondre au premier nombre premier équilibré puisque $2 = {(1 + 3) \over 2}$ .

Il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers équilibrés.
3 nombres premiers consécutifs dans une progression arithmétique sont quelquefois appelés une CPAP-3 (en anglais). Un nombre premier équilibré est par définition le deuxième nombre premier dans une CPAP-3. En 2005, la plus grande CPAP-3 connue possède 7 535 nombres trouvés par David Broadhurst et François Morain [1]:
$p_n = 197418203 \times 2^{25000} - 1, p_{n-1} = p_n-6090, p_{n+1} = p_n+6090$
La valeur de n n'est pas connue.

[modifier] Voir aussi

Lorsqu'un nombre premier est plus grand que la moyenne arithmétique de ses deux voisins premiers, il est appelé un nombre premier fort. Lorsqu'il est plus petit, il est appelé un nombre premier faible.