Nombre d'argent
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L'appellation nombre d'argent a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; elles sont encore en concurrence actuellement.
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[modifier] Première proposition
Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation x2 = x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : un = un − 1 + un − 2, il a été proposé[1] que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation x3 = x2 + x + 1, équation caractéristique de la récurrence : un = un − 1 + un − 2 + un − 3.
Mais cette récurrence ayant été désignée, par un délicieux jeu de mot, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, qui est égale à environ .
Dans la même veine on trouve aussi la constante, unique solution positive de l'équation x3 = x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Padovan : un = un − 2 + un − 3, mais elle a été rétrogradée au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.
[modifier] Deuxième proposition
Un rectangle d'or étant un rectangle qui est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, propriété qui équivaut à ce que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or, il a été proposé qu'un rectangle d'argent soit un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant deux plus grands carrés inclus.
Le rapport Longueur/largeur d'un rectangle d'argent est la solution positive de l'équation x − 2 = 1 / x soit x2 = 2x + 1 ; il est naturel alors de désigner par nombre d'argent cette solution, égale à .
Si le nombre d'or a pour développement en fraction continue [1,1,1,....], ce nombre a pour développement [2,2,2,....].
Pour éviter un conflit avec la troisième proposition, ce nombre est étudié dans Wikipedia sous le nom de proportion d'argent, traduction littérale de silver ratio.
La récurrence associée est un = 2un − 1 + un − 2.
[modifier] Troisième proposition
L'inverse du nombre d'or étant égal à , il a été proposé que le nombre d'argent noté u soit égal à .
Il est la racine positive de l'équation x3 = 3x − 1, associée à la récurrence un = 3un − 2 − un − 3.
A l'aide du nombre d'or et du nombre d'argent , il est assez facile d'exprimer la table trigonométrique des angles de 1° à 45°, de degré en degré.
En effet ceux-ci sont des multiples de 3 (catégorie I) et/ou 5 (catégorie II) , des multiples de 2(catégorie III), et des premiers (catégorie IV). Les premiers (catégorie IV) sont les complémentaires à 45° de la catégorie III. La catégorie III se calcule aisément à partir des catégories I et II , qui elles-même découlent de u et de φ.
La question reste posée de savoir si on peut faire mieux avec d'autres nombres soit de la classe x² = q - p x, soit de la classe x³ = q - p x.
La courbe de Lissajous et (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique et .
Sans être aussi riche que les recherches faites autour des suites de Fibonacci, le nombre d'argent est l'objet d'études de curieux des mathématiques.