Nombre centré
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, les nombres centrés sont une classe des suites de nombres figurés, chacun formés par un point central, entouré par des couches polygonales successives constituées d'un nombre constant de côtés.
Chaque côté d'une couche polygonale contient un point en plus que le côté de la couche précédente, ainsi, en démarrant de la seconde couche polygonale chaque couche d'un nombre k-gonal centré contient k points en plus que la couche précédente.
Ces suites sont les suivantes :
- Les nombres triangulaires centrés : 1, 4, 10, 19, 31,...
- Les nombres carrés centrés : 1, 5, 13, 25, 41,...
- Les nombres pentagonaux centrés : 1, 6, 16, 31, 51,...
- Les nombres hexagonaux centrés : 1, 7, 19, 37, 61,...
- etc.
Chaque suite peut être formée en ajoutant 1 à un multiple fixé au nombre triangulaire précédent, ou exprimé algébriquement, le n ième nombre k-gonal centré est obtenu par la formule
où T est un nombre triangulaire.
De la même façon avec les nombres polygonaux réguliers, le premier nombre k-gonal centré est 1. Ainsi, pour tout k, 1 est, et un nombre k-gonal, et un nombre k-gonal centré. Le nombre suivant étant à la fois k-gonal et k-gonal centré peut être trouvé en utilisant la formule
qui nous indique que 10 est à la fois triangulaire et triangulaire centré, 25 est à la fois carré et carré centré, etc.
Bien qu'un nombre premier p ne puisse pas être un nombre polygonal régulier (excepté, bien sûr, le deuxième nombre k-gonal), les nombres premiers apparaissent "assez souvent" dans les suites de nombres polygonaux centrés.
