Discuter:Nombre de Carmichaël

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[modifier] Lien externe mort

Bonjour,

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▪ Eskimbot ☼ 31 janvier 2006 à 23:04 (CET)

[modifier] Démonstration du théorème de Korselt

Correction d'une erreur : on pouvait lire :


n étant un nombre de Carmichael, soit a premier avec n on a:

a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} donc a^{n-1} \equiv 1 \pmod{p} car p divise n. Par ailleurs, par le petit Théorème de Fermat:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.

On en deduit immédiatement que n-1 est un multiple de p-1.


C'est une conclusion un rien hâtive : on peut affirmer que n-1 est un multiple de l'ordre de a modulo p ; mais cet ordre, même si p est premier, n'est pas nécessairement p-1. Exemple : on a 2^3 \equiv 1 \pmod{7}. On a bien sûr également 2^6 \equiv 1 \pmod{7} ; mais 2^9 \equiv 1 \pmod{7} n'implique pas pour autant que 6 divise 9 ! Tout nombre premier p admet cependant une racine primitive a (i.e. il existe un a dont l'ordre est p-1). Avec un tel élément, on peut conclure.


Dabsent (d) 31 décembre 2007 à 15:58 (CET)

[modifier] L'ensemble des nombres de Chernik-Carmichaël est-il bien infini ?

Une question se pose qui n'aurait pas dû échapper à l'œil du rédacteur : le texte qui mentionne les nombres de Chernick-Carmichaël, (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) ne dit pas s'ils sont en nombre infini! J'imagine volontiers que ce soit le cas, admettant une extension intuitive, (que je ne fais que conjecturer!) du théorème classique sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Quelqu'un peut-il nous éclairer, et ajouter à l'article une mention 'autoritative' quant à l' (in)finitude de l'ensemble de ces nombres ? Ninho (d) 11 avril 2008 à 11:55 (CEST) Ninho

On me pardonnera de me répondre moi-même, j'espère : suivant une réponse reçue sur la page de langue anglaise, homologue de celle-ci, et confirmée par un furetage sur Google, la réponse à ma question n'est pas connue. J'ajoute cette remarque dans l'article car, au vu de la formule paramétrique de Czernik, il n'est que trop facile de s'imaginer qu'elle engendre "nécessairement" une infinité de nombres de Carmichael.

90.54.9.124 (d) 12 avril 2008 à 17:17 (CEST) Ninho