Morphisme de groupes

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Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure des groupes.

Plus précisément, si (G,*) et (G',\star) sont deux groupes de neutres respectifs e et e', une application f : G \rightarrow G' \, est un morphisme du groupes lorsque :

\forall (x,y) \in G^2, \; f(x*y)=f(x) \star f(y)

Les deux propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :

  • f(e)=e' \,
    \forall x \in G,\; f(x^{-1})=[f(x)]^{-1} \,

On dit que f est un isomorphisme de groupes si f est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f-1 est aussi un morphisme de groupes. Si de plus, (G,*)=(G',\star), on parle d'automorphisme du groupe G .

Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes.

Sommaire

[modifier] Liens avec les sous-groupes

Soient H \subset G \, un sous-groupe de G \,

H' \subset G' \, un sous-groupe de G' \, .

On a alors:

f(H) \, est un sous-groupe de G' \,

f^{<-1 >}(H') \, est un sous-groupe de G \,


Par ailleurs:

Si H \, est un sous-groupe distingué de G\,, alors f(H) \, est un sous-groupe distingué de f(G)\,

Si H' \, est un sous-groupe distingué de G'\,, alors f^{<-1>}(H') \, est un sous-groupe distingué de G=f^{<-1>}(G')\,

note: dans le cas où f\, est surjectif, on a f(G)=G'\, et donc f(H) \, est un sous-groupe distingué de G'\,

[modifier] Noyau et image

Par définition, on appelle noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) du morphisme f, l'ensemble : \ker f=f^{<-1>} \{ e' \} \,

L'image de f est défini par : \mbox{Im} f=f(G) \,


On a les propriétés suivantes :

\ker f est un sous-groupe distingué de G\,.

\mbox{Im} f \, est un sous-groupe de G' \, .


Equivalence fondamentale :

f \,\mbox{est injective} \Leftrightarrow \ker f = \{e\}

[modifier] Isomorphismes de groupe

On suppose dans cette section que f est un isomorphisme. Cela revient à dire que c'est un morphisme bijectif.

On dit alors que les deux groupes G et G' sont isomorphes.

L'application réciproque f − 1 de G' vers G est également un isomorphisme de groupe.

Les deux groupes G et G' vont avoir exactement les mêmes propriétés, c'est-à-dire que du point de vue de la théorie des groupes ils se comportent comme étant le même objet.

[modifier] Théorèmes d'isomorphismes

Intuitivement, le noyau de f traduit le défaut entre G et G'. Par exemple, lorsque kerf est trivial, le morphisme f est injectif. On peut donc voir (via f) le groupe G comme un sous-groupe de G'. C'est une situation optimale. À l'opposé, si kerf = G, alors le morphisme est trivial et ne donne aucun renseignement entre G et G'.

D'une certaine façon, le noyau et l'image indiquent à quel point un morphisme est ou n'est pas un isomorphisme. Cette approche peut permettre de mieux comprendre le premier théorème d'isomorphisme suivant :

f induit un isomorphisme du groupe quotient G/ \ker f \, vers f(G) \,

On peut noter mathématiquement cet isomophisme par :

G/ker f\simeq Im(f)

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

[modifier] Deuxième théorème d'isomorphisme

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors H \cap N est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

H/(H \cap N) \simeq NH/N

[modifier] Troisième théorème d'isomorphisme

Soit N et M deux sous-groupes normaux de G. N/M est alors un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

(G/M)/(N/M)\simeq G/N

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

[modifier] Bibliographie

  • Elements de théorie des groupes , Josette Calais , PUF , Paris 1984.
  • Algèbre générale , Bernard Charles et Denis Allouch , PUF , Paris , 1984.