Moment quadratique

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Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le système international en m⁴, (mètre à la puissance 4).

Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion ( $I G$ ) et en flexion ( $I x$ et $I y$ ). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.

Le moment quadratique est encore très souvent appelé moment d'inertie. Cependant, bien qu'il présente de claires similitudes, il ne rend compte que de la géométrie d'une section et non de sa masse.

Sommaire

1 Définition générale
- 1.1 Application de la définition
2 Formules pour les sections usuelles
3 Formule de transport
4 Exemple pour une section complexe

[modifier] Définition générale

Schéma

Moment quadratique de la section $S$ par rapport à l’axe $O\vec x$ : $I_x = \int_{S}y^2\, \mathrm ds = \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique de la section $S$ par rapport à l’axe $O\vec y$ : $I_y= \int_{S}x^2\, \mathrm ds = \iint_{S}x^2\, \mathrm dx\mathrm dy$
Moment quadratique (polaire) de $S$ par rapport au point $O$ : $I_O= \int_{S}r^2\, \mathrm ds = \iint_{S}r^2\, \mathrm dx\mathrm dy$

Remarques: On a $I O = I x + I y$ puisque $r 2 = x 2 + y 2$ (Théorème de Pythagore).; Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important.

[modifier] Application de la définition

Section carrée

Pour une section carrée de coté $a$ centrée en $O$ :

Moment quadratique par rapport à $O\vec x$ : $I_x= \iint_{S}y^2\, \mathrm dx\mathrm dy = \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} \mathrm dx \times \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} y^2 \;\mathrm dy$
$= \left[\frac {a}{2}-\left ( - \frac{a}{2} \right ) \right] \cdot \frac {1}{3} \cdot \left[ \left(\frac {a}{2}\right) ^3 - \left ( - \frac{a}{2} \right ) ^3 \right] = \frac {1}{3} \cdot a \cdot \left ( \frac {a^3}{8} + \frac {a^3}{8} \right )$
$= \frac {a^4}{12}$
Moment quadratique par rapport à $O\vec y$ : De même, à cause de la symétrie de cette section, on a : $I_y= \frac {a^4}{12}$
Moment quadratique par rapport au point $O$ : En utilisant le fait que $I O = I x + I y$ on a : $I_O= \frac {a^4}{6}$

[modifier] Formules pour les sections usuelles

[modifier] Section rectangulaire

Section rectangulaire

$I_x= \frac {b \cdot h^3}{12}$

$I_y= \frac {h \cdot b^3}{12}$

$I_G= \frac {b \cdot h}{12} \cdot (b^2+h^2)$

[modifier] Section circulaire

Section circulaire

$I_x= \frac {\pi \cdot D^4}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot D^4}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot D^4}{32}$

[modifier] Section annulaire

Section annulaire

$I_x= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}$

$I_y= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{64}$

$I_G= \frac {\pi \cdot (D^4-d^4)}{32}$

[modifier] Formule de transport

Le moment quadratique d'une section $S$ dont le barycentre passe par un axe $Δ$ parallèle à un axe de référence $Δ'$ à une distance $d$ vaut, d'après le théorème de transport de Huygens :

$I_{\Delta'} = I_\Delta + S \cdot d^2$ .

Ceci exprime que le moment quadratique est égal à la somme du « moment propre » $I Δ$ et du « moment de translation » $S . d 2$ .

[modifier] Exemple pour une section complexe

poutre en I On décompose la poutre en 3 parties, les deux semelles et l'âme. on fait la somme des moments quadratiques polaires de chaque section. si on choisit l'axe neutre comme axe de rotation, on doit utiliser le théorème des axes paralleles (transport) pour le moment quadratique des semelles. $I_{tot} = I_1 + 2I_2 = \frac{bh^3}{12} + 2\left(\frac{b'h'^3}{12}+\frac{b'h'h^2}4\right)$