Mesure finie

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Sur un espace mesurable (X,\mathcal{A}), une mesure finie ou mesure bornée est une mesure (réelle ou complexe) μ dont la masse | μ | (X) (valeur de la variation totale | μ | sur X) est finie.

[modifier] Fonctions intégrables

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie μ ; et on dispose de la majoration :

\left|\int_Xf.d\mu\right|\leq \|f\|_{\infty}.|\mu|(X)

[modifier] Exemples de mesures finies

  • La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
  • Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
  • Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
  • Pour une mesure complexe ν pas nécessairement finie, et pour une fonction mesurable ν-intégrable, la variation totale de la mesure f.ν est exactement | f | . | ν |  ; de fait, la mesure f.ν est finie.

[modifier] Espace des mesures finies

Toute somme de mesures finies est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie. Les mesures bornées forment un espace vectoriel complexe \mathcal{M}(X,\mathcal{A}). De plus, on définit la norme :

\|\mu\|=|\mu|(X)

Pour cette norme, c'est un espace de Banach.

Pour toute mesure ν, l'application f\mapsto f.\nu induit une isométrie de L^1(X,\mathcal{A}) sur un sous-espace vectoriel fermé de \mathcal{M}(X,\mathcal{A}). Ce sous-espace est exactement l'ensemble des mesures finies absolument continues par rapport à ν.