Masse fluide en rotation

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Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M , de masse volumique ρ. Le problème est de trouver sa forme.

Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.

Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.

Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.

Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

[modifier] La solution de Maclaurin

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a , d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m = ω2a / (GM / a2). Comme le volume est donné, V = 4/3. Pi.a².b , m est proportionnel à ω2 / πGρ

La solution donnée par Maclaurin est :

\omega^2/ \pi G \rho = arcsin(e) \cdot 2\frac{(1-e^2)^{1/2} (3-2e^2)}{e^3} + 6 -6/e^2.

A dire vrai , il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = 2 / 5.M.a2.ω est donné. Alors L =f(e) est monotone.

Néanmoins Jacobi montrera que si L augmente , pour e = 0.58 , cette forme d'ellipsoïde de révolution est instable : la symétrie de révolution est brisée.

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