Métrique de Minkowski

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En notant \mu,\nu\, des indices d'espace-temps à 4 dimensions la métrique de Minkowski s'écrit, avec la signature ( − ; + ; + ; + ) :

\eta_{\mu \nu} \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \

(cette matrice est en fait une matrice de symétrie par rapport à un hyperplan.)

ou bien sous forme différentielle

{\rm d}s^2\equiv\eta_{\mu \nu} {\rm d}x^\mu{\rm d}x^\nu=-c^2{\rm d}t^2+{\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2 \,


Une autre possibilité est de choisir la signature ( + ; − ; − ; − ) :

\eta_{\mu \nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \

la forme différentielle est alors

{\rm d}s^2\equiv\eta_{\mu \nu} {\rm d}x^\mu{\rm d}x^\nu=c^2{\rm d}t^2-{\rm d}x^2-{\rm d}y^2-{\rm d}z^2 \,


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