Métrique de Kerr-Schild

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En relativité générale, la métrique de Kerr-Schild est une métrique satisfaisant à une certaine forme. Elle est nommée en l'honneur de Roy Patrick Kerr et A. Schild qui ont mis évidence son intérêt dans l'étude de certaines solutions exactes de la relativité générale, bien que son étude remonte à A. Trautman en 1962^[1].

[modifier] Définition

Une métrique de Kerr-Schild est définie comme étant de la forme

g a b = η a b + 2 V k a k b

$η a b$ étant une métrique de l'espace de Minkowski, V une fonction quelconque et $k a$ un quadrivecteur de genre lumière.

[modifier] Propriétés

Une propriété immédiate relative au quadrivecteur $k a$ est que ses indices peuvent être montés et descendus soit à l'aide de la vraie métrique $g a b$ , soit avec la métriqu esous-jacente $η a b$ .

Démonstration

En effet, on a, par définition,

k a = g a b k b

Or, d'après la définition de g,

g a b = η a b + 2 V k a k b

d'où

k a = η a b k b + 2 V k a k b k b

Or, k étant par définition de genre lumière, on a

k b k b = 0

d'où le résultat annoncé :

k a = g a b k b = η a b k b

Les symboles de Christoffel jouissent des propriétés suivantes :

$\Gamma^a_{bc} k^b k^c = 0$ ,

$\Gamma^a_{b c} k_a k_c = 0$ ,

ce qui implique

$k^b D_b k^a = k^b \partial_b k^a$ ,

$k^b D_b k_a = k^b \partial_b k_a$ ,

(D étant la dérivée covariante associée à la métrique g) ainsi que

$\Gamma^a_{bc} k_a = k^e D_e (V k_b k_c)$ ,

$\Gamma^a_{bc} k_c = - k^e D_e (V k^a k_b)$ .

Le déterminant de la métrique g est, lui, identique à celui de la métrique η. En particulier, si le système de coordonnées est choisi de façon à ce que les coordonnées soit des coordonnées cartésiennes vis-à-vis de η, alors, dans l'hypothèse où l'on se place dans un système d'unités géométriques (où la vitesse de la lumière vaut 1),

$\sqrt{|g|} = 1$ .

L'équation $k b D b k a = 0$ signifie que k est une géodésique. Par conséquent, d'après une des égalités précédentes, si k est une géodésique vis-à-vis de la métrique g, il l'est aussi vis-à-vis de la métrique η et inversement.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Référence

(en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum & E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge University Press, Cambridge, Angleterre, 1980, 428 pages (ISBN 0521230411), page 298 et suivantes.