Méthode de variation des constantes

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La méthode de variation des constantes est une méthode de résolution des équations différentielles. Elle permet de déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (c'est-à-dire sans second membre).

La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon Laplace, pour la résolution des équations différentielles linéaires.

[modifier] Généralités

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre un, Si $y 0$ est une solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme $y (t) = C (t) y 0 (t)$ .

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre deux, si $y 0$ et $y 1$ sont deux solutions de l'équation homogène, on cherchera une solution particulière sous la forme $y (t) = C 0 (t) y 0 (t) + C 1 (t) y 1 (t)$

De manière générale, pour une équation différentielle linéaire d'ordre $n$ , on cherchera des solutions qui sont des combinaisons linéaires des fonctions solutions de l'équation homogène, mais en considérant les coefficients de cette combinaison linéaire comme des fonctions.

[modifier] Exemple d'utilisation

Montrons l'application de la méthode dans le cas pour les équations différentielles linéaires d'ordre 1 : $a y' + b y = c$

On suppose que, sur l'intervalle d'étude, la fonction $a$ ne s'annule pas.

On écrit la solution générale de l'équation homogène associée $a y' + b y = 0$ sous la forme

y (t) = K e - A (t)

Où $K$ est une constante réelle, et $A (t)$ une primitive de la fonction $\tfrac{b(t)}{a(t)}$ .

On prend pour nouvelle fonction variable la fonction $k$ définie par la relation

$y(t) = k(t) e^{-A(t)},~$

ce qui explique la formulation imagée : on fait « varier la constante ». En fait, on la remplace par une fonction.

En reportant dans l'équation initiale, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur $k$

$a(t)k'(t) = f(t)e^{A(t)}\,$

En notant $B$ une primitive de la fonction $\tfrac{fe^A}{a}$ , et $C$ une nouvelle constante, $K (t)$ s'exprime sous la forme

$k(t) = B(t) + C\,$

ce qui permet de remonter à l'expression de la solution générale $y$ :

$y(t) = (B(t) + C) e^{-A(t)}\,$

L'écriture de la solution est alors

$y(t) = \exp\left( -\int\frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx \right) \left\{ C + \int \frac{c(x)}{a(x)} \exp\left(\int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx \right\}$

Pour finir, il faut réaliser un double calcul de primitive. De ce fait, la solution ne s'exprime pas toujours à l'aide des fonctions usuelles.

[modifier] Exemple d'application à la physique

L'équation différentielle du second ordre $a y''(t) + b y'(t) + c y (t) = 0$ intervient en physique dans l'étude des systèmes oscillants, lorsque l'excitation (force, courant, ...) appliquée au système oscillant est nulle.

La méthode de l'équation caractéristique (découverte par Euler) donne la solution de cette équation différentielle homogène, qui est une combinaison linéaire de fonctions exponentielles (complexes).

Lorsque l'on applique une excitation $f (t)$ , l'équation devient :

a y''(t) + b y'(t) + c y (t) = f (t)

La méthode de variation de la constante permet d'en trouver une solution particulière. La solution générale s'obtient alors en ajoutant les solutions de l'équation homogène à cette solution particulière.