Méthode de Müller

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En mathématiques, la méthode de Müller est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction qui est basé sur la méthode de la sécante mais qui utilise une approximation quadratique d'une partie de la fonction au lieu d'une approximation linéaire. Ceci offre une convergence plus rapide que la méthode de la sécante. Une particularité de cette méthode est que le candidat issu de la recherche peut devenir complexe.

[modifier] La méthode

La méthode de la sécante définit une relation de récurrence basée sur l'interpolation linéaire entre deux points. La méthode de Muller de par sa nature quadratique, nécessite trois points. On pose ainsi :

q = \frac{x_n - x_{n-1}}{x_{n-1} -x_{n-2}}

On définit ensuite trois termes :

A = qf(x_n) - q(1+q)f(x_{n-1})+q^2f(x_{n-2})~
B = (2q+1)f(x_n) - (1+q)^2 f(x_{n-1}) + q^2 f(x_{n-2})~
C = (1+q)f(x_n)~

La relation de récurrence pour cette méthode est donnée au final par :

x_{n+1} = x_n - (x_n - x_{n-1})\frac{2C}{\max{(B\pm\sqrt{B^2-4AC})}}~

L'initialisation nécessite 3 points x0, x1 et x2 qui sont proches, si possible, de la solution recherchée.

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