Longue droite

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La longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ».

[modifier] Définition

En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, $L$ , est le produit du premier ordinal indénombrable $ω 1$ et de l'ensemble des réels positifs ou nuls, l'ordre sur le produit étant l'ordre lexicographique (donnant le plus de poids à l'élément de $ω 1$ ).

En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable. Mieux, on peut la munir d'une structure de variété différentiable lisse (i.e. de classe $C^\infty$ ), et même analytique réelle ( $ω$ ).

Des variantes de la définition consistent à retirer l'origine, ou à prolonger la droite indéfiniment vers la gauche de la même façon que vers la droite. Le terme de « longue droite » peut, selon les auteurs, désigner un quelconque de ces trois espaces. Nous adoptons ici la convention qu'il y a un bord à gauche.

[modifier] Propriétés

Pour tout $x$ dans $L$ (la longue droite en question), l'intervalle fermé $[0; x]$ est homéomorphe à l'intervalle réel $[0;1]$ . Pourtant, $L$ a des propriétés exceptionnelles. Par exemple :

Toute suite croissante à valeurs dans $L$ a une limite (cela découle presque immédiatement de la propriété correspondante pour $ω 1$ , qui est elle-même une conséquence simple d'une forme très faible de l'axiome du choix). En particulier, toute suite à valeurs dans $L$ admet une valeur d'adhérence (et, si elle n'en admet qu'une, converge vers cette valeur) ; car toute suite à valeurs dans $L$ est bornée. Il s'ensuit que toute fonction continue de $\mathbb R$ vers $L$ est bornée.
De façon peut-être plus surprenante, toute fonction continue de $L$ vers $\mathbb R$ est bornée. (En effet, si ce n'est pas le cas, si $f:L \to \mathbb R$ est continue non bornée, on trouve $x 0$ dans $L$ tel que $f (x 0) > 0$ , puis $x 1$ dans $L$ tel que $f (x 1) > 1$ et $x 1 > x 0$ , puis $x 2 > x 1$ tel que $f (x 2) > 2$ , et ainsi de suite. Soit $x$ la limite de la suite $x_0,x_1,x_2, \dots$ ; en appliquant la continuité de $f$ en $x$ , on arrive à une contradiction.) On a en fait bien mieux : toute fonction continue de $L$ vers $\mathbb R$ est constante à partir d'un certain point.
Le compactifié de Stone-Cech de $L$ s'obtient en rajoutant un seul point à $L$ , à l'infini à droite. C'est donc aussi son compactifié d'Alexandroff.
Toute application continue injective (donc strictement croissante) de $L$ dans $L$ est non bornée. De plus, une telle application a des points fixes arbitrairement grands (donc une infinité non dénombrable de points fixes).