Loi de distribution des vitesses de Maxwell

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En théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell donne la densité de probabilité d'observer, dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température T uniforme, un atome dont le vecteur vitesse soit \vec{v}. Elle est nommée suivant le physicien écossais James Clerk Maxwell. La loi de distribution de Maxwell s'écrit :

P(\vec{v}) \, dv_x \, dv_y \, dv_z \ = \ \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \ e^{-m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)/(2k_B T)} \ dv_x \, dv_y \, dv_z

Sommaire

[modifier] Dérivation élémentaire

On considère un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique global. En supposant que la distribution des vitesses est isotrope (pas de direction privilégiée), la densité de probabilité du gaz ne peut dépendre que de la norme du vecteur vitesse. Donc on peut écrire :

P(\vec{v}) \ = \ P(v_x^2+v_y^2+v_z^2)

D'autre part, si on suppose que les composantes vx,vy,vz sont des variables aléatoires indépendantes (ce qui est une hypothèse de "désordre" maximal ou plus précisément d'entropie maximale), on doit aussi avoir :

P(\vec{v}) \ = \ p_x(v_x) \ p_y(v_y) \ p_z(v_z)

Par isotropie, les trois fonctions pi doivent de plus être identiques :

p_x(v) \, = \, p_y(v) \, = \, p_z(v) \, = \, p(v)

On en déduit que :

P(v_x^2+v_y^2+v_z^2) \ = \ p(v_x) \ p(v_y) \ p(v_z)

En faisant vy = vz = 0, on obtient :

P(v_x^2) \ = \ p(v_x) \ p^2(0) \quad \Longrightarrow \quad p(v_x)\ = \ \frac{P(v_x^2) }{p^2(0)}

où l'on a supposé p(0) \ne 0. On obtient des relations analogues pour P(v_y^2) et P(v_z^2), à partir desquelles on peut écrire :

P(v_x^2+v_y^2+v_z^2) \ = \ p(v_x) \ p(v_y) \ p(v_z) \ = \ \frac{1}{p^6(0)} \ \left[ \ P(v_x^2) \ P(v_y^2) \ P(v_z^2) \ \right]

Cette équation fonctionnelle pour la fonction inconnue P admet une solution unique :

P(v) \ = \ C \ \exp(- \, A \, v^2)

où C et A sont deux constantes.

[modifier] Autres dérivations

  • La distribution de Maxwell peut se déduire des lois générales de la physique statistique d'équilibre, comme application du facteur de Boltzmann.
  • Elle peut aussi être obtenue comme l'unique solution stationnaire de l'équation de Boltzmann décrivant un gaz hors d'équilibre.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

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