Loi de Laplace

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La loi de Laplace est une loi liant la différence de pression entre deux milieux dont la surface de séparation est incurvée à la courbure locale. Elle est parfois appelée équation de Laplace-Young.

Sa forme la plus générale est:

$\qquad \Delta p = \gamma div(\vec{n})$

où

$p$ est la pression en un point en pascals ;
$γ$ est le coefficient de tension superficielle en newtons par mètre ;
$\vec{n}$ est le vecteur normal (unitaire) à la surface.
div est l'opérateur divergence parfois noté : $\vec{\nabla} \cdot$

Une fois intégrée à l'aide de la formule de Green-Ostrogradsky, aussi appelé théorème de Flux-Divergence, il est possible d'en déduire des expressions plus simples dans certains cas particuliers:

Dans le cas particulier où la surface est localement sphérique, cette loi s'exprime par :

$\qquad P_2 - P_1 = \frac{2A}{R}$

où

$P 1$ est la pression du côté convexe en pascals ;
$P 2$ est la pression du côté concave en pascals ;
$A$ est la tension superficielle à la limite de séparation en newtons par mètre ;
$R$ est le rayon de courbure de la surface de séparation au point considéré.

Plus généralement, la loi s'écrit :

$\qquad P_2 - P_1 = A \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$

où $R 1$ et $R 2$ sont les deux rayons de courbure principaux de la surface au point considéré. Ces deux rayons de courbures principaux existent pour la plupart des surfaces mais pas toutes. Dans le cas sphérique, les deux rayons de courbure principaux sont égaux : $R 1 = R 2 = R$ .

[modifier] Transformation adiabatique et réversible

On peut aussi retrouver une loi de Laplace lors d'une transformation thermodynamique d'un gaz parfait, plus précisément lors d'une transformation adiabatique et réversible, ou une transformation isentropique. Dans ce cas, la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

$\qquad P . V^{\gamma} = C_1$

$\qquad T . V^{\gamma-1} = C_2$

$\qquad T^{\gamma} . P^{1-\gamma} = C_3$

où

$P$ est la pression du gaz
$V$ est le volume occupé par le gaz
$T$ est la température du gaz
$γ$ est le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est à dire le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants