Lemme de van der Corput

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Il existe dans la littérature de nombreux lemmes de Van der Corput. Nous en présentons ici deux.

[modifier] En analyse complexe

Soient k \geq 1 entier, et f \in C^{k} ([a,b]) telle qu'il existe un nombre λk > 0 tel que, pour tout réel x \in [a,b], on ait f^{(k)} (x) \geq \lambda_k. Alors on a :

\left | \int_{a}^{b} e^{i f(t)} \, dt \right | \leq \frac {c_k}{\lambda_k^{1/k}}

pour une certaine constante ck > 0.

[modifier] En théorie des nombres

Soient N \geq 1 un entier (grand) et f \in C^2 ([N,2N]) telle qu'il existe un réel λ2 > 0 et des nombres 0 < c1 < c2 tels que, pour tout réel x \in [N,2N], on ait c_1 \lambda_2 \leq f''(x) \leq c_2 \lambda_2. On note e(x) = e2iπx. Alors on a :

\left | \sum_{N < n \leq 2N} e (f(n)) \right | \ll N \lambda_2^{1/2} + \lambda_2^{-1/2}.