Lemme de Schwarz

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.

Lemme — Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  • f(0) = 0~
  • \forall z \in D, ~ |f(z)| \leqslant 1

Alors on a :

\qquad |f(z)| \leqslant |z| pour tout z appartenant à D et \qquad |f'(0)| \leqslant 1 .

Si, de plus, il existe un élément non nul z0 de D vérifiant | f(z0) | = | z0 | , alors il existe un nombre complexe a de module 1 tel que f(z) = az pour tout z appartenant à D.

Le lemme de Schwarz est utilisé notamment pour déterminer les automorphismes du disque D dans lui-même.